¿Encontrando la solución entera que hace que$\lvert x-y \rvert$ sea el mejor?

Question

Yo estaba tratando de resolver este problema.

Deje $x,y$ ser enteros no negativos que satisfacen la ecuación.

$$2^{x} +2^{y} = x^{2} +y^{2}$$

Encontrar el máximo valor posible para $\lvert x-y \rvert$?

En un principio traté de construir una función de dos variables y la búsqueda de puntos críticos, pero los puntos críticos terminó por tener valores no enteros. Entonces traté de manipulación de la ecuación para obtener $x^2 +y^2$ a parecerse a $\lvert x-y \rvert$ pero que no ayudan a hacer más fácil la búsqueda entero de soluciones. Acabé tratando de adivinar las soluciones a la ecuación y la mejor que se me ocurrió fue $(3,0)$ da $\lvert x-y \rvert$ un valor de $3$. Lo único es que yo no estoy seguro de si este es el más alto que se puede obtener el valor de $\lvert x-y \rvert$.

Me preguntaba ¿hay alguna manera de solucionar este problema sin tener que adivinar y comprobar que la solución que se obtiene es lo que maximiza $\lvert x-y \rvert$?

Answer 1

Considere la función $f(x)=2^x-x^2$:

Tenga en cuenta que para $x\ge5$, $f(x)\ge7$. Por lo tanto, no hay ningún valor $y$, de modo que $f(x)+f(y)=0$ desde $f(y)\gt-2$.

Mirando los datos, obtenemos las soluciones de $$ \{(0,3),(1,3),(2,2),(2,4),(3,0),(3,1),(4,2),(4,4)\} $$ Por lo tanto, las soluciones con el mayor $\left|x-y\right|$$\{(0,3),(3,0)\}$. Por lo tanto, $$ \max\left|x-y\right|=3 $$

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$\boldsymbol{f(x)}$ es convexa para $\boldsymbol{x\ge3}$ y el aumento de $\boldsymbol{x\ge4}$

Desde $f''(x)=\log(2)^22^x-2$, $f''(x)\ge0$ al $x\ge1-2\log_2(\log(2))$. Y desde $2^2\gt e\implies\log(2)\gt\frac12\implies\log_2(\log(2))\gt-1$, obtenemos que $3\gt1-2\log_2(\log(2))$.

Por lo tanto, $f''(x)\ge0$ al $x\ge3$.

Además, desde el $\frac{f(4)-f(3)}{4-3}=1$, el Valor medio Teorema dice que $f'(x)=1$ algunos $x\in(3,4)$. Desde $f(x)$ es convexa para$x\ge3$,$f'(x)\ge1$$x\ge4$.

Answer 2

Puede verificar que las únicas soluciones enteras sucedan en$x,y \in [0,4]^2$. Son$(3,0), (3,1), (4,2), (2,2)$ y$(4,4)$, más sus entradas simétricas. Puede mostrar que con$x,y \ge 5$ la diferencia $$ 2 ^ x + 2 ^ yx ^ 2-y ^ 2 $$ aumenta en$x$% y$y$, por lo que el valor óptimo de $|x-y|$ es de hecho 3.