¿Lo que se conoce sobre series exponenciales doble?

Question

He estado explorando las funciones que tiene una forma general:

$$\sum_{k=0}^\infty{ a^{b^k} } \tag{1}$$

En particular, ahora estoy revisando esta igualdad, que parece contener:

$$2 \sum_{k=0}^\infty{ \left( \frac{1}{2^{2^k}} - \frac{1}{2^{2^k\cdot3-1}} \right) } = 5/6$$

Yo también estoy en el proceso de la búsqueda de más identidades/ecuaciones, pero no quiero reinventar la rueda.

Entonces, me pregunto, ¿Qué se sabe acerca de la serie de la forma (1)? Estoy interesado en esto y cualquier cosa relacionada con "doblemente exponencial" de la serie. Yo estaría muy interesado en los libros o papeles que nadie sabe acerca de.

Answer 1

La función $$ f (z) = \sum_ {k = 0} ^ {\infty} z ^ {a ^ k} = z + z ^ a + z ^ {una ^ 2} + z ^ {un ^ 3} + \ldots, $$ $a$ Dónde está un número entero positivo, es analítica para $|z|<1$, igual a $0$ $z=0$ y satisface la ecuación funcional $$ f(z^a) = f (z)-z. $$ $a=2$, tienes el divertido propiedad eso $$ f (z) + f(z^3) + f(z^5) + \ldots=\frac {z} {1-z}. $$