Estoy tratando de resolver el siguiente pde lineal donde $u=f(x,y)$ en el dominio $y \in (0,\infty)$ : $$y\dfrac{\partial{u}}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$ con condiciones de contorno: $$u(x,0)=\sin(x) $$ $$\lim_{y \rightarrow \infty} u(x,y) = 0 .$$
¿Puede alguien sugerirme cómo debo proceder para obtener la solución analítica de esta ecuación?
Solución:
Utilizando el método de separación de variables, suponemos que la solución es de la forma $$u(x,y)=X(x).Y(y) $$ Insertando esto en el pde, obtenemos: $$yX'Y=XY'' $$ $$\dfrac{X'}{X}=\dfrac{Y''}{yY}=-\lambda$$ Ahora tenemos las siguientes odas $$X'+\lambda X=0 $$ $$Y'' + \lambda y Y = 0 $$
de la que obtenemos dos soluciones generales de la siguiente forma: $$X(x) = c_1\exp(-\lambda x) \qquad Y(y) = c_2Ai(\lambda^{1/3} y) + c_3Bi(\lambda^{1/3} y) $$ donde $Ai$ y $Bi $ son funciones de Airy y la solución general se puede expresar como $$u(x,y) = c_1\exp(-\lambda x).(c_2Ai(\lambda^{1/3} y) + c_3Bi(\lambda^{1/3} y))$$
$c_3 \rightarrow 0 $ para satisfacer la segunda condición de contorno ya que $Bi(\infty) \rightarrow \infty $ y por lo tanto, la solución es de la forma
$$u(x,y) = A \exp(-\lambda x) Ai(\lambda^{1/3} y) $$ Poniendo $y=0$ , $$u(x,0) = A\exp(-\lambda x).\dfrac{1}{3^{2/3}}\Gamma({2/3}) = \sin(x) $$
¿Cómo debo proceder ahora para encontrar $A$ y $\lambda$ Considerando que $\lambda$ tiene que ser un valor real positivo?
