Cómo probar $tr\{\sigma_1\sigma_2\sigma_3\}=\pm 2i$ con sólo usar $\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}$

Question

Cómo probar $tr\{\sigma_1\sigma_2\sigma_3\}=\pm 2i$ con sólo usar $\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}$ y no podemos utilizar la representación explícita de las matrices de Pauli y no podemos utilizar $[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k$ .

Hay deberes de mecánica cuántica para pedirnos que probemos $tr\{\sigma_i\sigma_j\sigma_k\}=2i \epsilon_{ijk}$ y todas las cosas que sólo podemos utilizar es sólo $\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}$ . Puedo probar las indeces $ijk$ es antisimétrico pero no puede resolver $tr\{\sigma_1\sigma_2\sigma_3\}=2i$ con sólo $\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}$ .

En primer lugar, gracias a la respuesta de Valter Moretti, esta consecuencia no es correcta en general. Porque las matrices menos pauli siguen satisfaciendo la relación de anticomutador pero la traza de tres es $-2i$

Pero sigo teniendo la corazonada de que sólo hay dos posibilidades de $2\times 2$ representación de un álgebra asociativa generada por $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ con $\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}$ $i,j\in\{1,2,3\}$ . Una es similar a las matrices de pauli y la otra es similar a las matrices de pauli menos. ¿Se puede demostrar esta afirmación?

Answer 1

Es imposible demostrar la identidad deseada (versión inicial) haciendo sólo uso de la relación de anticonmutación. Esto se debe a que si se cambia el signo de todos los $\sigma_k$ la relación de anticonmutación se mantiene, pero la traza del producto de tres matrices cambia de signo. Lo único que se puede demostrar a lo sumo, explotando también la propiedad cíclica de la traza, es que la mencionada traza es proporcional a $\epsilon_{ijk}$ .

ADDENDUM

En cuanto a tu última conjetura, creo que es correcta siempre que las matrices no tengan traza y sean hermitianas, como lo son las matrices del ámbito real de las matrices de Pauli (por lo que deberías considerar el ámbito real de las matrices de Pauli en lugar del álgebra compleja asociativa generada por ellas, que es todo el álgebra de matrices complejas de 2×2). En efecto, consideremos las tres matrices hermitianas sin traza $t_i$ . Así, se puede escribir $$t_i = R_{ij} \sigma_j$$ para los coeficientes reales $R_{ij}$ . Imposición de relaciones de anticonmutación para las matrices $t_i$ y utilizando el hecho de que las matrices de Pauli satisfacen las mismas relaciones, se tiene $$R_{ij}R_{kj} = \delta_{ik}.$$ Así que las matrices $R$ están en $O(3)$ . Si el determinante de $R$ es $1$ como es bien sabido, existe un operador $U\in SU(2)$ de tal manera que, como usted conjetura $$t_i = U \sigma_i U^\dagger$$ para $i=1,2,3$ .

Si en cambio el determinante de $R$ es $-1$ entonces $-R$ tiene un determinante $1$ y por lo tanto existe una matriz unitaria $V$ tal que $$t_i = -V \sigma_i V^\dagger$$ para $i=1,2,3$ .

Utilizando la propiedad cíclica de la traza, este resultado también demuestra su identidad inicial en la $\pm$ versión.

ADDENDUM2 .

La condición de ausencia de rastro puede abandonarse. Consideremos tres matrices hermitianas de 2×2 $t_i$ que satisfacen las realidades de anticonmutación de las matrices de Pauli. Así que debe ser $t_kt_k=I$ para $k=1,2,3$ (se supone que no hay sumatoria sobre índices repetidos arriba). Por lo tanto, cada $t_i$ es simultáneamente hermitiano y unitario y, por tanto, sus valores propios están en el conjunto $\{\pm 1\}$ . Si se toman los dos valores propios, la traza de la matriz es $0$ Si no es así $t_i=\pm I$ . Este segundo caso es incompatible con las relaciones de anticonmutación: $$ 0 = t_i t_k + t_k t_i = 2 t_k$$ que está en contradicción con $t_kt_k = I$ .

Por lo tanto, podemos concluir que su conjetura es cierta suponiendo que las matrices son hermitianas:

Teorema

Si tres matrices hermitianas de 2×2 satisfacen las relaciones de anticonmutación de las matrices de Pauli, entonces pueden transformarse simultáneamente en las tres matrices de Pauli o en las tres matrices de Pauli con signo negativo mediante un cambio común de base ortonormal. El cambio de base se realiza mediante una matriz en $SU(2)$ .

Muy bonito...