Solución de entropía de la ecuación de la hamburguesa

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema, que da a la ecuación de hamburguesas$u_t + uu_x=0$ con los datos iniciales$g(x)=1, x < 0$,$g(x)=2, 0 < x < 1$,$g(x)=0, x > 1$. Luego solicita encontrar la solución de entropía de$u(x,t)$ para todos$t>0$.

Este tipo de problema, con ondas de choque y rarefacción, se discute en Evans, pero realmente no sé cómo aplicarlo para resolver este problema. Cualquier ayuda con esto sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Así que, vamos a empezar a buscar en el primer salto en las condiciones iniciales. Aquí dejamos $1$ en el lado izquierdo y $2$ a la derecha. Como estamos buscando una solución de entropía y de estos solo puede saltar hacia abajo a través de los choques, tenemos una rarefacción de la onda de aquí. En $x=1$ tenemos un shock (como $2 > 0$), con una velocidad dada por Rankine-Hugeniot como $\frac 12 (2+0) = 1$. Así, por pequeño $t$ hemos $$ u(x,t) = \begin{cases} 1 & x \le t\\ \frac xt & t < x < 2t\\ 2 & 2t \le x < 1+t \\ 0 & x \ge 1+t\end{casos} \quad \quad (0 \le t \le 1) $$ La próxima vez que algo interesante happends es cuando el charateristic con velocidad de 2 a partir de 0, golpea en el choque. Que es al $t+1 = 2t$, yo. e. $t=1$. Ahora, el choque se construye a partir de las características de la rarefacción del ventilador, vamos a denotar el choque de la curva por $s$,$s(1) = 2$, y por la condición de salto $$ s'(t) = \frac 12 \cdot \frac{s(t)}t $$ La solución de esta oda es $s(t) = 2\sqrt t$, que es la que tenemos para la siguiente parte $$ u(x,t) = \begin{cases} 1 & x \le t \\ \frac xt & t < x < 2\sqrt t \\ 0 & x \ge 2\sqrt t \end{casos} \quad\quad (1 \le t \le 4) $$ Luego, el próximo momento interesante es cuando la primera velocidad 1 característica golpea la velocidad de 0 características, que es al $2\sqrt t = t \iff t = 4$ ( $t\ge 0$ ). Después de que el choque viaja con la velocidad de la $\frac 12(1+ 0) = \frac 12$, es decir que se $$ u(x,t) = \begin{cases} 1 & x \le 2 +\frac 12t \\ 0 & x> 2 + \frac 12t \end{casos} \quad \quad (t \ge 4). $$