La intersección de un subgrupo con un subgrupo abeliano es normal en el producto

Question

Pregunta: Vamos a $A$ ser un grupo Abelian con $A \trianglelefteq G$, y deje $B \leq G$ ser cualquier subgrupo. Mostrar que $A \cap B \trianglelefteq AB$.

[ref: este es el ejercicio 20 en la página 96 de [DF] := Dummit y Foote del Álgebra Abstracta, $3^{\text{rd}}$ edition]

Mi intento: Claramente, $AB$ es un subgrupo de $G$ (debido a $B \leq G = N_G (A)$, así que esto es sólo el corolario 15 en la página 94 de [DF]). Como $A \cap B$ es también un subgrupo, por lo tanto, ya ha $A \cap B \leq AB$, por lo que solo tenemos que mostrar que $AB$ normaliza $A \cap B$.

Deje $ab \in AB$. ¿Qué es $(ab) A\cap B (ab)^{-1}$? La elección de cualquiera de $g \in A \cap B$, observamos que, en particular,$g \in A$, por lo que $$ ab gb^{-1} a^{-1} = aa a^{-1} = ' \en Una, $$ desde $A$ es Abelian.

Ahora, estoy atascado: me gustaría ver que el mismo $ab gb^{-1} a^{-1}$ también se encuentra en $B$, teniendo en cuenta que el $g \in B$. De esta forma, se demuestra que $(ab) A\cap B (ab)^{-1} \subset A \cap B$, y hemos terminado.

Answer 1

$bgb^{-1}=b'$ es un elemento de$A\cap B$ (si$g\in A$ está normalizado como dijiste, y si$g\in B$ tenemos un producto en el subgrupo$B$) y$ab'a^{-1}=b'\in A\cap B$

Answer 2

Para mostrar que$AB$ normaliza$A\cap B$, basta con mostrar que$A$ y$B$ normalizan por separado$A\cap B$ (porque esto implica que$\langle A,B\rangle\subseteq N_G(A\cap B)$, y el producto es el subgrupo generado por$A$ y$B$).

Si$x\in A\cap B$ y$b\in B$, luego$bxb^{-1}\in A$ (desde$x\in A\triangleleft G$), y$bxb^{-1}\in B$ (desde$b,x\in B$), entonces$bxb^{-1}\in A\cap B$ . Entonces$B$ normaliza$A\cap B$.

Si$x\in A\cap B$ y$a\in A$, entonces$axa^{-1}=x\in A\cap B$, porque$x\in A$ y$A$ es abelian. Entonces$A$ normaliza$A\cap B$.

Por lo tanto,$AB=\langle A,B\rangle \subseteq N_G(A\cap B)$, según lo deseado.

Answer 3

Tenga en cuenta que$bgb^{-1} \in A$ como$A \lhd G$ y$bgb^{-1} \in B$, porque$B$ es un subgrupo. Por lo tanto$bgb^{-1} \in A \cap B$. Ahora,$A$ es abelian, entonces$a(bgb^{-1})a^{-1} = aa^{-1}(bgb^{-1}) = bgb^{-1} \in A \cap B$. Concluimos que $A \cap B \lhd AB$.