Calculando la temperatura final y el volumen de la expansión adiabática

Question

A $ \mathrm {5.00\ L}$ muestra de $ \ce {CO2}$ en $800 \ \mathrm {kPa}$ sufrió una expansión adiabática de un solo paso (irreversible) contra una presión externa constante de $100\ \mathrm {kPa}$ . La temperatura inicial del gas fue $300\ \mathrm {K}$ .

Un camino alternativo entre el estado inicial y el final consiste en una expansión isotérmica reversible de $5.00\ \mathrm {L}$ hasta el volumen final V, seguido de un volumen constante de enfriamiento (reversible) hasta la temperatura final T.

a) Dar ecuaciones (en términos de V y T, el volumen final y la temperatura del gas) para ΔU, q y w para los tres procesos.

b) Declare brevemente por qué $ \Delta \mathrm {U}$ es la misma para ambos caminos.

c) Por lo tanto, o de otra manera, calcular el volumen final y la temperatura del gas.

Mi intento

Parte A

Puedo hacer esta parte. Estoy bastante seguro de que tengo las respuestas correctas excepto por $ \Delta U$ para el proceso de enfriamiento. ¿Podría por favor comprobar si mis respuestas son correctas?

La expansión adiabática $ \Delta U = 33.33(T-300)$ , $q = 0$ y $w = 33.33(T-300)$

La expansión isotérmica $ \Delta U = 0$ , $q = 4000\ \mathrm {ln} \frac {V}{5}$ y $w = -4000\ \mathrm {ln} \frac {V}{5}$

Refrigeración $ \Delta U = 33.33(T-300)$ , $q = 33.33(T-300)$ y $w = 0$

Parte B

Esto se debe a que la energía interna es una función del estado, independiente del camino recorrido.

Parte C

Lo que me confunde aquí es la palabra "por lo tanto", que implica que necesito usar el hecho de que la energía interna es igual para los dos procesos. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo usar esto para encontrar la temperatura y el volumen finales. Sospecho que podría obtener la expresión para $ \Delta U$ no es adecuado para el proceso de enfriamiento.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

A primera vista el caso A no parece que vaya a causarnos problemas (¡pero espera!). El ciclo de trabajo es sólo del 1%, por lo que los 25 mA tendrán que ser compensados por una corriente de carga de 250 µA. Eso es para la corriente constante, que varía el voltaje del condensador linealmente con el tiempo.

\$ C = \dfrac {t_1 \times I_1}{ \Delta V} = \dfrac {25 ms \times 25 mA}{ \Delta V} = \dfrac {625 \mu C}{ \Delta V} \$

\$ C = \dfrac {t_2 \times I_2}{ \Delta V} = \dfrac {(2.5 s - 25 ms) \times 253 \mu A}{ \Delta V} = \dfrac {625 \mu C}{ \Delta V} \$

Así que \$C\$ se determinará por la caída de voltaje que permita. Si permitieras una caída de 200 mV, a 2,8 V, entonces necesitarías un condensador de 3100 µF.

Pero en la mayoría de las aplicaciones del mundo real la corriente no será constante, y la carga/descarga del condensador sobre una resistencia irá exponencialmente. Tienes sólo 1 V de diferencia entre los 3 V del condensador y los 2 V de los LED, y no querrás dejar caer demasiado los condensadores antes de que los 25 ms terminen; no es que el desvanecimiento se note como tal, pero sí el brillo promedio. Así que asumiendo una caída máxima permitida de 200 mV en 25 ms significará:

\$ (3 V - 2 V) \times e^{ \left ( \dfrac {-25 ms}{R C} \right )} + 2 V = 2.8 V \$

entonces \$ R C\$ = 0.11 s.

Para la recarga tendremos que establecer un voltaje final; si quisiéramos recargar a los 3 V completos nos llevaría un tiempo infinito. Así que si fijamos nuestro objetivo en el 99% de 3 V podemos escribir una ecuación similar:

\$ (3 V- 2.8 V) \times e^{ \dfrac {-(2.5 s-25 ms)}{R C}} = 3 V \times 1 \% \$

entonces \$ R C \$ = 1.30 s.

Sí, eso es diferente. \$ R C\$ veces porque el \$ R\$ es diferente: para la descarga es la resistencia de la serie de LED's, para la recarga es la resistencia de la batería.

Para la resistencia en serie con el LED podemos calcular

\$ R_1 = \dfrac {2.9 V - 2 V}{25 mA} = 36 \Omega\ $

Los 2,9 V son el voltaje promedio durante la descarga, lo que nos permite calcular la corriente promedio. La corriente inicial será de 27,5 mA, pero eso no será un problema. Calculé los 2,9 V simplemente como el promedio entre 3 V y 2,8 V, pero está bien, en este corto tiempo se puede asumir que la descarga es casi lineal. (Acabo de hacer el cálculo con la integral de la curva de descarga, y eso nos da un promedio de 2,896 V, lo que confirma eso; el error es sólo de 0,13).

Ya que sabemos \$ R_1 C\$ y \$ R_1\$ podemos encontrar \$ C\$ :

\$ C = \dfrac {0.11 s}{36 \Omega } = 3100 \mu F \$

Y ahora podemos encontrar la resistencia de carga también:

\$ R_2 = \dfrac {1.30 s}{3100 \mu F} = 420 \Omega \$ .

Observe que la capacitancia es la misma que con nuestra corriente constante de carga y descarga. Eso es porque la descarga corta puede ser aproximada así como lineal, como vimos antes, y también redondeé los valores.