Califica esta prueba de un mapa de supuestos desde$\mathbb{R}^3$ a$\mathbb{R}^3$.

Question

Acabo de recibir esta tarea la prueba de nuevo en mi álgebra abstracta de la clase con un grado de 20%. Me siento muy engañado, por decir lo menos. Presento aquí verbatim para sus críticas. Por favor, dime qué está mal aquí.

probar: $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ definido por $f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)$ es sobre.

queremos mostrar: por cada $b \in \mathbb{R}^3$ existe $a \in \mathbb{R}^3$ tal que $f(a)=b$

deje $b=(p,q,r) \in \mathbb{R}^3$

$f\left(\frac{p}{2}-\frac{q}{2}+\frac{r}{2},\frac{p}{2}+\frac{q}{2}-\frac{r}{2},-\frac{p}{2}+\frac{q}{2}+\frac{r}{2}\right)$

$=\left(\frac{p}{2}-\frac{q}{2}+\frac{r}{2}+\frac{p}{2}+\frac{q}{2}-\frac{r}{2},\frac{p}{2}+\frac{q}{2}-\frac{r}{2}-\frac{p}{2}+\frac{q}{2}+\frac{r}{2},\frac{p}{2}-\frac{q}{2}+\frac{r}{2}-\frac{p}{2}+\frac{q}{2}+\frac{r}{2}\right)$

$=\left(\frac{p}{2}+\frac{p}{2},\frac{q}{2}+\frac{q}{2},\frac{r}{2}+\frac{r}{2} \right)$

$=\left(p,q,r \right)$

por lo tanto, para cada $b=(p,q,r) \in \mathbb{R}^3$ existe $a \in \mathbb{R}^3$ define como $a=\left(\frac{p}{2}-\frac{q}{2}+\frac{r}{2},\frac{p}{2}+\frac{q}{2}-\frac{r}{2},-\frac{p}{2}+\frac{q}{2}+\frac{r}{2}\right)$ tal que $f(a)=b$

por lo tanto, $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ definido por $f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)$ está en

$\square$

Answer 1

Aquí está su sello de aprobación MSE: su solución es completamente correcta.

Answer 2

Su solución es correcta, pero se salta de la nada. Lo que tenemos que resolver es la ecuación de $f(x,y,z)=(p,q,r)$, que es el sistema $$ \begin{cases} x+y=p\\ y+z=q\\ x+z=r \end{casos} $$ que se pueden resolver con matrices: \begin{align} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & 1 & q \\ 1 & 0 & 1 & r \end{array}\right]&\a \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & 1 & q \\ 0 & -1 & 1 & r-p \end{array}\right]\\[2ex] &\a \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & 1 & q \\ 0 & 0 & 2 & r-p+q \end{array}\right]\\ \end{align} Esto demuestra que la matriz tiene rango $3$ por lo que el sistema tiene una solución única. Por cierto, esto también muestra el mapa también es inyectiva.

Mucho menos cálculos y no conjeturas. Si desea escribir la inversa mapa, sólo tienes que ir con Gauss-Jordan eliminación: \begin{align} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & 1 & q \\ 0 & 0 & 2 & r-p+q \end{array}\right]&\a \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 & (r-p+q)/2 \end{array}\right]\\[2ex] &\a \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & 0 & (q-r+p)/2 \\ 0 & 0 & 1 & (r-p+q)/2 \end{array}\right]\\[2ex] &\a \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & (p-q+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & (q-r+p)/2 \\ 0 & 0 & 1 & (r-p+q)/2 \end{array}\right]\ \end{align} lo que significa que el inverso mapa $$ g\colon (p,q,r)\mapsto\left(\frac{p-q+r}{2},\frac{q-r+p}{2},\frac{r-p+q}{2}\right) $$

De nuevo, no hay conjeturas.

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Yo tampoco habría gradual de su solución 100%. Tal vez el 20% es demasiado bajo, pero me gustaría haber añadido

puede usted explicar por qué eligió esos valores?

Answer 3

Como este es un curso de álgebra, su TA probablemente esperaba una prueba basada en las propiedades de la matriz:$$\left(\begin{matrix}1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right)$ $ Demostrar que esta matriz está en, es equivalente a mostrar que las columnas abarcan$\mathbb{R}^3$ o el rango de la matriz es 3 o que el determinante es distinto de cero.

Por supuesto, esto no significa que su prueba es incorrecta, solo que el TA esperaba algo más y calificó erróneamente su prueba en consecuencia.