Subespacio vectorial de $M_n(\mathbb{R})$ con matrices invertibles

Question

Recuerdo esta afirmación que he leído en algún libro hace mucho tiempo, pero ahora no recuerdo y, lamentablemente, no pude encontrar nada en google al respecto. Me preguntaba si alguien podría ayudarme con alguna referencia al respecto.

Para $n>8$ no hay un subespacio vectorial $n$-dimensional de $M_n(\mathbb{R})$ en el que todos los elementos no nulos sean matrices invertibles.

También me preguntaba si podemos decir algo para $n \leq 8$. Gracias.

Observación: Creo que esto debería estar relacionado con el Teorema de Hurwitz (https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Hurwitz_(álgebras_de_composición)). Por ejemplo, para $n=1,2,4,8$ estos subespacios vectoriales de dimensión $n$ son los isomorfos a $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ (cuaterniones) y $\mathbb{O}$ (octoniones) respectivamente.

Observación 2: Creo que el hecho de que estas matrices sean reales es muy importante, pero no sé por qué.

Answer 1

La dimensión máxima del subespacio de matrices invertibles reales $n\times n$ está dada por los números de Hurwitz-Radon $\rho(n)$, que se define de la siguiente manera: si $n=2^{4a+b}c$ donde $0\le b\le3$ y $c$ es impar, entonces $\rho(n)=8a+2^b$. Ver

J. F. Adams (1962), Vector fields on spheres, Annals of Mathematics, 75(3): 603-632,

J. F. Adams, P. Lax y R. Phillips (1965), On matrices whose real linear combinations are non-singular, Proc. Amer. Math. Soc., 16:318-322,

J. F. Adams, P. Lax y R. Phillips (1966), Corrections to "On matrices whose real linear combinations are non-singular", Proc. Amer. Math. Soc., 17: 945-947.

El resultado de Adams (1962) básicamente dice que el número máximo de campos vectoriales linealmente independientes en la esfera de dimensión $(n-1)$ $S^{n-1}\subset\mathbb R^n$ es $\rho(n)-1$. La siguiente presentación explica brevemente la conexión de estos campos vectoriales con el subespacio de matrices invertibles:

Rachel Quinlan, Special spaces of matrices, IMS Meeting 2013, NUI Maynooth.

Aquí hay algunas propiedades obvias de los números de Hurwitz-Radon: (a) $\rho(n)=1$ cuando $n$ es impar, (b) $\rho(n)\le n$ para cada $n$, (c) $\rho(n)=n$ si y solo si $n=1,2,4,8$. De (b) y (c), se sigue que hay un subespacio de dimensiones $n$ de matrices invertibles reales $n\times n$ si y solo si $n=1,2,4,8$.

Una demostración de la afirmación más débil de que la dimensión máxima está acotada por $n$ se da en

Zoran Z. Petrović (1999), On nonsingular matrices and Bott periodicity, Publications de l'Institut Mathématique 65(79).85: 97-102.

Claramente, los resultados de Adams et al. se aplican solo a matrices invertibles reales. Cuando el espacio de matrices $M_n(\mathbb C)$, la dimensión máxima de un subespacio de matrices invertibles es obviamente $1$, ya que $A-\lambda B$ es singular cuando $\lambda$ es un valor propio de $AB^{-1}$.

Answer 2

En cuanto a por qué es importante trabajar sobre $\mathbb{R}$, el usuario 1551 da una primera indicación, pero va en la dirección "incorrecta" (muestra que hay incluso menos subespacios con matrices invertibles sobre $\mathbb{C}$).

Si tomas $\mathbb{Q}$, puedes encontrar subespacios de dimensión $n$ de $M_n(\mathbb{Q})$ que consisten en matrices invertibles (excepto por $0$, por supuesto) para $n$ arbitrariamente grande. Esto se debe a que al igual que sobre $\mathbb{R}$ tienes los cuaterniones de Hamilton bien conocidos, sobre $\mathbb{Q}$ tienes álgebras de división de todos los grados (el grado es la raíz cuadrada de la dimensión en este caso, así que los cuaterniones son de grado $2$ y dimensión $4$). Para ver eso, puedes usar, por ejemplo, el teorema de Brauer-Hasse-Noether, pero probablemente sea excesivo (simplemente no veo de inmediato un argumento elemental).

Si $D$ es una tal álgebra de división, se incrusta en $End_\mathbb{Q}(D)$ (donde $D$ se ve como un espacio vectorial) por multiplicación a la izquierda, y las matrices resultantes son invertibles excepto por $0$.