Si una función es uniformemente continua en $(a,b)$ ¿puedo decir que su imagen está acotada?

Question

Si una función es uniformemente continua en $(a,b)$ ¿puedo decir que su imagen está acotada?

( $a$ y $b$ siendo números finitos).

Intenté probarlo y refutarlo. No pude encontrar un ejemplo para una imagen no limitada.

¿Hay alguna prueba básica o contraejemplo para alguno de los casos?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Hay un $\delta >0$ tal que para todo $x,y\in (a,b)$ con $|x-y|\leq \delta$ tenemos $|f(x)-f(y)|\leq 1$ . Sea $p=\min (\delta,\frac{b-a}{3})$ . Entonces $f$ es continua en $I=[a+p,b-p]$ . Por lo tanto, $f$ está acotado en $I$ . Además, $f$ está limitada por $|f(a+p)|+|f(b-p)|+1$ en $(a-b)-I$ . Esto significa que $f$ está acotado en $(a,b)$ .

Answer 2

Pista: Demuestre primero que una función uniformemente continua en un intervalo abierto puede extenderse a una función continua en el cierre del intervalo.

Answer 3

Dejemos que $\delta$ sea para que $|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<1$ . Ahora demuestre que existe un conjunto finito $F$ para que

$$(a,b) \subset \cup_{z \in F} (z-\frac{\delta}{2}, z+\frac{\delta}{2} ) \,.$$

Ahora bien, ¿qué se puede decir de $|f(x)|$ y $\max\{f(z)|z \in F \}+1\,.$ ?

P.D. La existencia del conjunto finito es realmente el hecho de que $(0,1)$ es precompacto en la topología de $\mathbb R$ . Así que esta solución no es realmente diferente a la de Ittay...

Answer 4

Si, por ejemplo, $\limsup\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)=\infty$ , entonces dado cualquier $\delta>0$ se puede encontrar $x$ y $y$ con $a<x<\delta$ y $a<y<\delta$ tal que $|f(x)-f(y)|>1$ . Podría $f$ sea entonces uniformemente continua en $(a,b)$ ?

Nota: si $f$ es continua en $(a,b)$ y sin límites, entonces $f$ es "ilimitado en $a$ " o "sin límites en $b$ " (además de lo anterior, hay otros tres casos a tener en cuenta).