¿El functor del producto preserva los mapas de cocientes?

Question

En Hatcher Topología Algebraica, se presenta una prueba de que si $(X,A)$ satisface la homotopy extensión de la propiedad, y $A$ es contráctiles, a continuación,$X \simeq X/A$.

Parte de Hatcher prueba: Supongamos que $q: X \to X/A$ es el cociente mapa. Tomando un homotopy $f : X \times I \to X$ tal que $f_t(A) \subseteq A$ todos los $t$, luego las razones que $q \circ f: X \times A \to X /A$ desciende a un homotopy $X /A \times I \to X/A$. Para mí está claro cómo definir un mapa para cada uno de los $t$. Me pregunté por qué un mapa definido de ese modo para cada una de las $t$ luego debe ser continua en $X /A \times I$, y yo no estaba seguro. Una manera en que podemos garantizar que era continuo es si $q \times 1_I: X \times I \to X/A \times I$ tenían el carácter de la propiedad del cociente. Pero no estoy seguro de si este es el caso.

Mis preguntas son

1. Es él el razonamiento de que si $\varphi: S \to \overline{S}$ es un cociente de mapa, a continuación, $\varphi \times 1_T: S \times T \to \overline{S} \times T$ es un cociente mapa para cualquier espacio topológico $T$? [Edit: esto no es cierto.]
2. ¿Qué está pasando aquí categóricamente? No he visto una situación en donde a partir de un producto $S \times T$, obtenemos entonces $\overline{S} \times T$ donde $\overline{S}$ es un cociente de $S$ (sin embargo, podemos definir un coeficiente de manera categórica).

Con respecto a la 1, me trató de probar esta más general de la proposición, pero se encontró con algunos problemas. Tomando $U \subseteq S \times T$ libre saturada conjunto, quería mostrar que $(\varphi \times 1_T)(U)$ estaba abierta. Dejando $x \in U$ me tome un curso básico de barrio de $x$ de la forma $\mathcal{O}_S \times \mathcal{O}_T$, y me gustaría mostrar que se ha abierto la imagen $\varphi (\mathcal{O}_S) \times \mathcal{O}_T$. Puedo decir que $\varphi (\mathcal{O}_S)$ es abierto si sé que $\mathcal{O}_S$ es saturada, pero no estoy seguro de por qué puede suponer esto.

Edit: veo aquí que desde $I$ es localmente compacto Hausdorff, tenemos el resultado que queramos sobre el cociente, pero el resultado no es cierto en general. Todavía me pregunto acerca de la categoría de parte. También, me pregunto si lo que estoy diciendo es que está implícita en su presentación, o me estoy perdiendo algo más fácil.

Answer 1

Voy a explicar cómo completar la prueba: Si $x=(a,t)∈U$, el objetivo es encontrar un producto abierto $W×V⊆U$ tal que $W$ es saturada, ya que implicaría $(φ×1_T)(W×V)=φ(W)×V$ es una vecindad de a$(φ(a),t)$$(φ×1)(U)$. Así que toma un compacto vecindario $K$ $t$ tal que $\{a\}×K⊆U$, y deje $W$ ser el conjunto más grande tal que $W×K⊆U$. Es fácil mostrar que $W$ es no vacío abierto y saturados. A continuación, $W×\mathring K$ es el deseado producto abierto.

Hatcher utiliza el hecho de que el producto $q\times 1_I$ es un cociente mapa varias veces en su libro, pero que yo recuerde, nunca se señala que el local de la compacidad de la unidad de intervalo es esencial. La única mención de la compacidad local en este contexto que veo es en el apéndice de la proposición A. 17.
La prueba no es categórica. Se hace uso de la adjunctions $\mathbf{Top}(X×Y,Z)\cong \mathbf{Top}(X,[Y,Z])$ y $\mathbf{Set}(X×Y,Z)\cong \mathbf{Set}(X,Z^Y)$ donde $[Y,Z]$ es el espacio de los mapas ( mapa me refiero a la función continua) $Y\to Z$, equipado con el compacto-abierta topología, mientras que $Z^Y$ es el conjunto de todas las funciones, entre una simple conjuntos. La contigüidad en $\mathbf{Top}$ sólo es válida si $Y$ es localmente compacto.
Suponga que $f:Z×Y\to W$ es una función tal que $f(q×1)$ es un mapa. Tiene un complemento de la $f^\flat:Z\to W^Y$ tal que $f^\flat q:X\to W^Y$ es el complemento de a $f(q×1)$. Por otro lado, el adjunto mapa de $X\to[Y,W]$ $f(q×1)$ compone con la inclusión de la función de $[Y,W]\hookrightarrow W^Y$$f^\flat q$, que por surjectivity de $q$ significa que $f^\flat$ es en realidad una función con codominio $[Y,W]$, e $f^\flat q$ es un mapa. Desde $q$ es un cociente mapa, llegamos a la conclusión de que $f^\flat$ es un mapa. Esto implica que su adjunto $f$ es un mapa así.

Edit: Kevin Carlson me recordó que el cociente de los mapas son precisamente los regulares epimorphisms en $\mathbf{Top}$, y que esto lleva a una forma más elegante de la prueba. Es decir, si $R\subseteq X\times X$ es la equivalencia de la relación de definir el cociente mapa de $q$, $R\rightrightarrows X\stackrel q\to Z$ es un coequalizer diagrama, donde el paralelo flechas son las proyecciones. Desde $-\times Y$ es una izquierda functor adjunto localmente compacto $Y$, conserva colimits, así tenemos un coequalizer diagrama de $R\times Y\rightrightarrows X\times Y\to Z\times Y$, lo que implica que $q\times 1_Y$ es un cociente de mapa.