tres saltamontes saltando en un avión.

Question

El problema es muy sencillo:

Tres saltamontes sentarse en un avión, no en una línea. Cada segundo a sólo una de los saltamontes lúpulo simétricamente sobre uno de los otros. Puede regresan a la posición inicial después de n segundos?

La gran tentación de responder que no es posible si el n es impar y sea posible si el n es correcta. También no es difícil mostrar que si n es incluso es correcta (usted puede usar un saltamontes y saltar hacia atrás y adelante). Pero no puedo obtener una prueba para n es impar.

Entiendo que tengo que buscar algún tipo de invariantes y demostrar que si n es impar no es una contradicción, pero no he podido encontrar el invariante.

Answer 1

Sugerencia: si las posiciones de los saltamontes son$g_1, g_2, g_3$, compruebe lo que sucede con$\det( g_2 - g_1, g_3 - g_1 )$.

Answer 2

(Esta es la respuesta de @Adayah en otras palabras).

Deje que$g_i$$(1\leq i\leq3)$ sean las posiciones de los tres saltamontes. El triángulo$\triangle$ formado por$g_i$ cambia su orientación en cada salto. Cuando$g_i$ se organicen en sentido antihorario a lo largo de$\partial\triangle$ al inicio, se organizarán en el sentido de las agujas del reloj después de un número impar de saltos.