Demostrando que $ae^x=1+x+\frac{x^2}{2}$ tiene exactamente una raíz real (parte 2)

Question

Hice esta pregunta aquí Mostrar $a e^x=1+x+\frac{x^2}{2}$ tiene exactamente una raíz real pero escribí mal la ecuación. Reproduzco el post con la ecuación correcta:

Tengo el siguiente problema:

Demuestre que la ecuación $a e^x=1+x+\frac{x^2}2$ donde $a$ es una constante positiva, tiene exactamente una raíz real.

Observando los gráficos de ambos $ae^x$ y $1+x+\frac{x^2}2$ se cruzarán en la mitad izquierda del plano cuando $a>1$ y en la mitad derecha cuando $a<1$ (porque a hace $e^x$ crecer más rápido o más despacio). Así que si pudiera encontrar un punto $x_1$ donde $a e^{x_1}-(1+x_1+\frac{{x_1}^{2}}2)<0$ y un punto $x_2$ donde $a e^{x_2}-(1+x_2+\frac{{x_2}^2}2)>0$ por el teorema del valor intermedio, la ecuación tendría una raíz real. Además, como la derivada de $a e^x-(1+x+\frac{x^2}2)$ es siempre positiva, podría concluir que no puede existir otra raíz real.

Así que mi pregunta es, ¿cómo puedo encontrar $x_1$ y $x_2$ ? No sé cómo expresar $x$ en términos de $a$ .

Answer 1

Me ocuparé del caso $0<a<1$ ya que el otro es mucho más sencillo:

Sea $$f(x)=ae^x-1-x-\frac{x^2}{2}$$ Observe $f^{\prime}(x)=ae^x-1-x$ , $f^{\prime\prime}(x)=ae^x-1$ .

Tenemos $f^{\prime\prime}(x)<0$ para $x<-\ln a$ y $f^{\prime\prime}(x)>0$ para $x>-\ln a$ . Por lo tanto, $f^{\prime}$ disminuye en $(-\infty,-\ln a]$ y luego aumenta en $[-\ln a,+\infty)$ . El mínimo es $f^{\prime}(-\ln a)=-a^2+\ln a-1<0$ como $a<1$ . Por lo tanto $f^{\prime}$ sólo tiene dos raíces $\xi\in (-\infty,-\ln a)$ y $\eta\in (-\ln a,+\infty)$ .

Por lo tanto, $f^{\prime}(x)>0$ en $(-\infty,\xi)$ , $f^{\prime}(x)<0$ en $(\xi,\eta)$ y $f^{\prime}(x)>0$ en $(\eta,+\infty)$ . Esto significa que $f$ aumenta en $(-\infty,\xi)$ tiene un máximo local en $\xi$ disminuye en $(\xi,\eta)$ tiene un mínimo local en $\eta$ y finalmente aumenta en $(\eta,+\infty)$ . Porque $f(\xi)<0$ (*), $f$ sólo tiene una raíz en $(\eta,+\infty)$

(*) $f^{\prime}(\xi)=0\implies ae^{\xi}-1-\xi=0$ y así $f(\xi)=\frac{-\xi^2}2<0$ ( $\xi\neq 0$ como $a<1$ )

Answer 2

Otro método: Sea $$f(x)=\frac{1+x+\frac{x^2}{2}}{e^x},x\in\mathbb R,$$ entonces $$f'(x)=\frac{-x^2}{2e^x}<0,\forall x\in\mathbb R,$$ y $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\ \text{and}\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.$$ Así que para cualquier $a>0$ la ecuación $f(x)=a$ sólo tiene una raíz real. Es decir, $$ae^x=1+x+\frac{x^2}{2}$$ sólo tiene una raíz real.

Answer 3

Con $f(x)=a e^x-(1+x+\frac{x^2}2)$ tenemos $f'(x)=ae^x-(1+x)$ , $f''(x)=ae^x-1$ y $f'''(x)=ae^x$ . Supongamos que $f(x_1)=f(x_2)=0$ con $x_1<x_2$ . Entonces $f'(\xi)=0$ para algunos $\xi\in(x_1,x_2)$ . En $f'(x_1)=f(x_1)+\frac{x_1^2}2\ge 0$ y $f'(x_2)=f(x_2)+\frac{x_2^2}2\ge 0$ concluimos que $f'$ tiene un mínimo local en el interior de $[x_1,x_2]$ Por lo tanto $f''(\zeta)=0$ para algunos $\zeta\in(x_1,x_2)$ . Esto implica $\zeta=-\ln a$ . Por lo tanto, $e^{x_1}<\frac1a<e^{x_2}$ y $ x_1+\frac{x_1^2}2<0<x_2+\frac{x_2^2}2$ . Esto implica $0<x_1<2$ y luego $x_2>2$ . En consecuencia, $f$ tiene como máximo dos ceros (porque de lo contrario dos de ellos serían $\ge 2$ o dos de ellos serían $\le 2$ ). También, $f$ puede cambiar de signo sólo en sus ceros. Tenemos $f(x)\to \pm\infty$ como $x\to\pm\infty$ Por lo tanto $f$ cambia firma un número impar de veces. Por lo tanto, $f$ tiene exactamente un cero, o lo tiene pas cambiar de signo en uno de los ceros. Pero esto último es imposible ya que implicaría $f'(x_i)=0$ Por lo tanto $f'(x_i)-f(x_i)=\frac{x_i^2}2=0$ y finalmente $x_i=0$ contradictorio $0<x_1<2<x_2$ .