¿Por qué?

Question

Deje $V,W$ $d$- dimensiones de espacios vectoriales, y deje $A,B \in \text{Hom}(V,W)$.

Considerar la inducida por los mapas en el exterior álgebras: $\bigwedge^{d-1}A,\bigwedge^{d-1}B :\Lambda_{d-1}(V) \to \Lambda_{d-1}(W)$.

Supongamos que $\bigwedge^{d-1}A=\bigwedge^{d-1}B$ , $A,B$ es invertible.

Quiero demostrar que la $A=\pm B$. (Tenga en cuenta que esto implica $A=B$ en el caso de $d$ es incluso).

La suposición implica $$\bigwedge^{d-1}(AB^{-1})=\text{Id}_{\Lambda_{d-1}(V)}.$$

Por lo tanto, el problema se reduce a mostrar que para $S \in \text{GL}(V)$ ,$$\bigwedge^{d-1}S=\text{Id}_{\Lambda_{d-1}(V)} \Rightarrow S=\pm \text{Id}_V.$$

Puedo demostrar esto mediante la introducción de un producto interior y la orientación en $V$, pero esto parece "natural" para mí.

Hay una prueba que se evita esto?

Answer 1

Consideremos la versión reducida. Tenemos$S\in \text{GL}(V)$ tal que$$\bigwedge^{d-1}S=\text{id}.$$ In particular, this means that every $ d-1$-dimensional subspace is invariant under $ S$. On the other hand, for any $ v, w \ en V$ such that $ w \ not \ in \ langle v \ rangle$, there is a $ d-1$-dimensional subspace containing $ v$ but not $ w$. It thus follows that every element of $ V$ is an eigenvector of $ S$, and so, $ S$ is multiplication by a scalar $ \ alpha$. Finally, we must have $ \ alpha ^ {d-1} = 1 $.

Como señaló Gunnar, esto no necesariamente significa que$\alpha=\pm1$ si permitimos campos con más raíces de unidad.

Answer 2

Si elige una base de$V_d$ dice$e_1,...e_d$, y declara que$E_i=(-1)^i e_1 \wedge .. e_{i-1}\wedge e_i... \wedge e_n$ es una base de$\wedge^{d-1} V_d$. Si$F$ es un endomorfismo de$V_d$, con matriz$M$, entonces la matriz de$\wedge ^{d-1} f$ es la comatrix$\tilde M$ de$M$ y satisface${\tilde M}. M= \det M. Id$.

Entonces, nos vemos reducidos a probar que si dos matrices invertibles$(d,d)$ tienen$\det(M)^{-1}M= \det(N)^{-1} N$, entonces$M=N$.

Tomando el determinante vemos que$det(M)^{-d+1}=det (N)^{-d+1}$, y el resultado sigue en el caso en que el campo de coeficiente es$\bf R$. Tenga en cuenta que en$\bf C$% el resultado es falso.