Últimamente, he desarrollado un hábito de probar casi todo por la contradicción. Incluso para teoremas que pruebas directas son la opción, sólo se comience escribiendo "No asume" luego probarlo directamente, de tal modo alcanzando una "contradicción". ¿Esto es una mala costumbre? No sé por qué, pero hay algo muy satisfactorio sobre la prueba por la contradicción.
Respuestas
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Una razón general para evitar la prueba por contradicción es la siguiente. Cuando prueba algo por la contradicción, todo lo que aprende es que la declaración que se quería demostrar que es verdadero. Cuando prueba algo directamente, se aprende todos los intermedios implicación que tenía que demostrar a lo largo del camino.
Más explícitamente, si quieres demostrar que $p \Rightarrow q$ por contradicción, supongamos $p$ y $\neg p$ y derivar una contradicción. Ninguno de los intermedios de las implicaciones a lo largo de la manera en que pueden ser reutilizados debido a que sus instalaciones fueron contradictorios.
Si quieres demostrar que $p \Rightarrow q$ directamente, dicen por demostrar que $p \Rightarrow p_1$ y $p_1 \Rightarrow p_2$ y así sucesivamente hasta $p_n \Rightarrow q$, entonces usted también ha demostrado que $p_i \Rightarrow p_{i+1}$ para todas las $i$. Muchos de estos estados podría ser más útil que el original de la declaración que se pretende probar.
Otra razón general para evitar una prueba por contradicción es que a menudo no es explícito. Por ejemplo, si quieres demostrar que algo existe por la contradicción, se puede mostrar que la suposición de que no existe conduce a una contradicción. Pero esto no implica necesariamente un método para la construcción de la cosa real, que usted podría aprender más de tratando de hacer.
Una tercera razón es que, con frecuencia, o al menos así me parece a mí, una prueba por contradicción es realmente una prueba por contrapositivo, donde se asume que $\neg p$ y derivar $\neg p$. Esto se siente como una prueba por contradicción, excepto que usted nunca hacer uso de la hipótesis de $p$, excepto en el final, y pretender que estas son pruebas por la contradicción se hará ciego al hecho de que cualquier intermedio implicaciones que demostrar en una prueba por contrapositivo todavía son válidos.
Brian Hinchey
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En mi opinión, la prueba por contradicción es un mal hábito, cuando hay una prueba directa. Siempre tengo la sensación de que las pruebas por la contradicción no son tan elegantes, como es necesario leer varias veces, para ver cómo alguien tuvo la idea de que la contradicción de trabajo.
Una buena prueba no sólo de demostrar algo, pero le da una forma. En una prueba directa de que usted siempre sepa dónde está, en una prueba por contradicción que hay en el extremo de la contradicción, que es más o menos fáciles de ver.
Nico
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Permítanme resumir rápidamente lo que usted puede encontrar en algunas de las otras respuestas, entonces voy a tirar mis dos centavos en la parte superior de que:
- La prueba es una prueba tan larga como lo es el sonido. Tal vez algo que no puede ser probado por la contradicción, sino por el contrario es sólo tan buena como la prueba directa.
- De alguna manera, muchos sienten que Reducio Ad Absurdum es menos elegante, o menos intuitiva.
Ahora mis dos centavos. Por favor, echa un vistazo a los siguientes artículos de Wikipedia:
- Intuitionistic Lógica
- La ley de Medio Excluido
- Eliminación De La Doble Negación
- El Constructivismo Matemático
Como usted puede ver, hay una rama de la lógica matemática, llamada Intuitionistic Lógica, que no acepta la Ley de Medio Excluido , como un axioma, y debido a esto la Doble Negación Eliminación no puede ser utilizada. Estos supuestos conducen a una rama de las matemáticas que – dicen – más abajo-a-tierra, y más intuitiva (ver matemático constructivismo, constructivo, la teoría de conjuntos, etc). Tomemos por ejemplo la siguiente cita de la Intuitionistic la Lógica de la página:
Lógica constructiva es útil en la práctica debido a sus restricciones de producir las pruebas que se tienen de la existencia de la propiedad, lo que es adecuado también para otras formas de constructivismo matemático. De manera informal, esto significa que si usted tiene un constructiva prueba de que existe un objeto, puede convertir ese constructivo prueba en un algoritmo para la generación de un ejemplo de ello.
— se ha eliminado la engañosa párrafo acerca de la diagonal de Cantor argumento —
Entonces, para resumir, por ir con un existencial, justificante de satisfacer incluso a los intuitionistic requisitos, por lo tanto es un argumento razonable para lo prefieren a través de una prueba por contradicción, que se basa en más supuestos (es decir, la Ley de Medio Excluido).
Drew Jolesch
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Es sin duda bueno para saber cómo proceder con una prueba por contradicción, y tener una firme comprensión de su lógica. Usted encontrará a menudo. Cuando los estudiantes de primero comprender la lógica de una prueba y tener éxito en la construcción de esas pruebas, que a menudo se enamoran por ellos, especialmente teniendo en cuenta la satisfacción de algunos de ellos por "desvirtuar" de algo.
Pero lo que realmente es en su mejor interés para desarrollar con facilidad el directo de las pruebas, la prueba por inducción, prueba por casos, etc. Ciertamente, hay algunos dominios en matemáticas, y en particular, de ciertos tipos de problemas y enunciados de los problemas en los que una prueba indirecta se utiliza más comúnmente o es incluso más apropiado. Pero que también es cierto en directo de las pruebas inductivas y pruebas, y cuando usted se siente cómodo con esos enfoques, no es la satisfacción que se obtiene después de haber afirmado, "establecido" y/o construido el resultado, no sólo por el desgarre de la negación del resultado.
Es un tipo de argumentos: se pueden dar muchas razones de por qué algo no funciona, y los cínicos como para hacer esto. El más elegante, informativo y creativo argumentos establecer "¿por qué algo va a funcionar," y explico por qué.
La línea de base: trabajan para desarrollar la habilidad, la maestría y la facilidad con la prueba directa y sus variaciones. Seguro, el uso indirecto de las pruebas es una herramienta indispensable. Pero ¿por qué limitarse a una sola herramienta, cuando se puede adquirir muchas herramientas, cada una de las cuales funciona mejor para construir algunas pruebas en un contexto particular de hacer los otros. Quieres desarrollar la flexibilidad para saber cómo y cuándo utilizarlas todas, como todos ellos son indispensables.
Usted podría estar interesado en estos posts anteriores:
- Puede cada prueba por contradicción también se muestra sin contradicción?.
- Son pruebas por la contradicción más débil que la de otros tipos de pruebas?
Las respuestas que se dan en estos puestos, y los enlaces disponibles allí, ofrecen una gran cantidad de perspectivas sobre los méritos e idoneidad de la prueba por contradicción. Ha habido un número de puestos similares, haciendo preguntas similares a la tuya. Si puedo raíz de ellos, voy a volver a publicar un enlace.
azimut
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Básicamente, una prueba es una prueba, como lo es el sonido.
Sin embargo, si hay la opción de una directa y una prueba indirecta de complejidad similar, normalmente el directo se considera para ser más "elegante".
Mi sugerencia es: la próxima vez que usted prueba algo por contradicción, intenta buscar una prueba directa (esto puede o puede no ser tan fácil). Si lo consigues, comparar sus pruebas y decidir cuál te gusta más.
