Deje $E$ el conjunto de delimitada real secuencias equipado con la siguiente norma:
$$||(a_n)_{n \in \mathbb{N}}||_{\infty}=\sup_{n \in \mathbb{N}}|a_n|$$
Deje $P$ ser el conjunto de bienes periódico secuencias, que es un subespacio de $E$.
Es $P$ es cerrado en $E$?
Sospecho que la respuesta es sí. Traté de un buen rato para construir un contraejemplo, pero fracasó.
Edit: lo he intentado...
Supongamos $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de elementos de $P$ con límite de $a$$E$, y deje $p_n$ denota el período de $s_n$. Si $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es acotado, entonces existe un número $p$ y una larga de $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en la que cada término es una secuencia de plazo,$p$, lo que implica $s$ periodo $p$.
Para encontrar un contraejemplo es por ello que necesita $(p_n)$ ilimitados y, suponiendo sin pérdida de generalidad que $(p_n)$ está aumentando, incluso podría necesitar $p_{n+1}-p_n$ a ser ilimitado. Finalmente, el límite de secuencia $a$ deberán satisfacer para todos los $k$ y $m$: $a_{k+mp_n} \to a_{k}$ como $n$ tiende a infinito. Ya construyendo un límite de secuencia $a$ está lejos de ser evidente!
