¿Cómo están en las soluciones de sistemas de inecuaciones lineales homogéneas con coeficientes cercanos?

Question

Supongamos que tengo dos sistemas de $n$ homogéneo de las desigualdades de $k$ variables: $$Ax \geq 0$$ y $$Bz \geq 0,$$ donde tanto $A$ $B$ $n \times k$ matrices tales que para cualquier $i=1, \ldots, n$, e $j=1, \ldots, k$, $|a_{ij}-b_{ij}|\leq \epsilon$ donde $\epsilon>0$ es muy pequeña.

Puedo concluir de aquí que hay una cierta distancia $\phi(\epsilon)$ (que $\phi(\epsilon) \rightarrow 0$$\epsilon \rightarrow 0$) con la siguiente propiedad: para cualquier solución de $x_0$ para el primer sistema con $\|x_0\|=1$ hay una solución $z_0$ para el segundo sistema que $$\|x_0-z_0\|\leq \phi(\epsilon)$$ para algunos norma $\|\cdot\|$$\mathbb{R}^k$? Estoy interesado en el formulario (o aproximación) de $\phi(\epsilon)$.

EDIT. Estoy interesado en las situaciones en que ambos sistemas no-trivial (no-cero) soluciones. Yo estaría incluso dispuesto a asumir que ambos conjuntos de soluciones no-vacíos interiores si esto es de ayuda.

Answer 1

Mira el caso de que $A$ tiene una gran condición.

EDICIÓN 1. Por ejemplo, $A=\begin{pmatrix}0&1\\u&-1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-2u&1\\u&-1\end{pmatrix}$ donde $u$ es un pequeño $>0$ número; tome $x_0=(1,0) $. A continuación,$||x_0-z_0||\ge 1$.

EDICIÓN 2. Respuesta a Neznajka . El ejemplo anterior muestra que el $\phi$ no existe.

De hecho, vamos a $\epsilon >0$. Si $u=\epsilon/2$,$|a_{i,j}-b_{i,j}|\leq \epsilon$. Uno tiene $Ax_0\geq 0,||x_0||=1$; $Bz\geq 0$ donde $z=[x,y]^T$ es equivalente a $ux\geq y\geq 2ux$, lo que implica $x\leq 0,y\leq 0$. Por lo tanto, si $Bz_0\geq 0$, $||x_0-z_0||\geq 1$ y, finalmente,$\phi(\epsilon)\geq 1$.

EDICIÓN 3. Creo que una correcta formulación del problema es como sigue.

Deje $A\in M_{n,k}$ donde $\text{rank}(A)=n\leq k$. Mostrar que hay $a>0$ y una función de $\phi:t\in (0,a)\rightarrow (0,+\infty)$ que tiende a $0$$t$, s.t. para cada $B\in M_{n,k},x_0\in\mathbb{R}^k$ satisfacción $||A-B||<a,Ax_0\geq 0,||x_0||=1$, $z_0\in\mathbb{R}^k$ s.t. $Az_0\geq 0,||x_0-z_0||\leq \phi(||A-B||)$.