correspondencia uno a uno entre los puntos en el eje número y números reales

Question

Mi pregunta es, se levantó por los tres declaraciones:

1. Un intervalo podría ser considerado como un segmento de línea en el número de eje de acuerdo a este libro.
2. Creo que es cierto que cada segmento de recta tiene dos puntos finales.

3. El Cantor-axioma de Dedekind:

   Los puntos de una línea se puede poner en una correspondencia uno a uno con los números reales.

de modo que la unidad intervalo [0,1] corresponde a un segmento de línea AB en el número de eje con su extremo puntos correspondientes a los números reales 0 y 1 respectivamente , (0,1) es un intervalo diferente de [0,1], por lo que creo que debe corresponder a un segmento de la línea de CD en el número de ejes diferentes de AB, CD debe tener dos puntos diferentes de los puntos extremos de AB, entonces, ¿qué son los números reales los dos puntos finales de CD, respectivamente, correspondientes a ? Podemos decir, de ellos el uso de algunas notaciones simbólicas? Hay algo mal con mi razonamiento aquí ?

Answer 1

Su razonamiento está bien, y ya veo por qué te resulta "extraño". Claramente los números reales no tienen puntos finales, porque no importa cuán grande o pequeño que vaya, siempre se puede encontrar un número real mayor o menor que ella. Así que entonces, ¿de dónde $0,1$ mapa a si configura un bijection entre el$[0,1]$$\mathbb{R}$? La respuesta es: cualquier bijection entre el $[0,1]$ $\mathbb{R}$ "extraño" y se pueden trazar $0,1$ donde quiera que te gusta.

He aquí un ejemplo conocido.

Deje $f:[0,1]\rightarrow (0,1)$ ser definido por: $$f(x) = \left\{ \begin{array}{1 1}\frac{1}{2} & \mbox{if } x = 0\\\frac{1}{2^{n+2}} & \mbox{if } x = \frac{1}{2^n}, n\in \mathbb{N}_0\\x & \mbox{otherwise}\end{array} \right.$$

Es fácil ver que $f$ es una correspondencia uno a uno, porque esencialmente se ocupa de $0$ $1$ mediante la asignación de a $1/2$$1/4$, el resto de puntos de la forma $1/2^n$ $(0,1)$ "desplazado" a $1/2^{n+2}$.

Ahora construimos dos funciones más:

Deje $g:(-\pi/2, \pi/2)\rightarrow \mathbb{R}$ ser definido por $g(x) = \tan(x)$

Deje $h:(0,1)\rightarrow (-\pi/2, \pi/2)$ ser dado por $h(x) = -\pi/2 + \pi x$

Es fácil demostrar que estos son también bijections. Pero ahora: $$g\circ h\circ f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$$ Es una correspondencia uno a uno! Vamos a ver donde $0$ $1$ vaya:

$(g\circ h\circ f)(0) = g(h(f(0))) = g(h(1/2)) = g(0) = 0$

$(g\circ h\circ f)(1) = g(h(f(1))) = g(h(1/4)) = g(-\pi/4) = -1$

Claramente $0$ $-1$ son de ninguna manera "puntos finales" de $\mathbb{R}$. La clave es que una correspondencia uno a uno entre el $[0,1]$ $\mathbb{R}$ va a ser muy "natural", debido a que usted necesita para poner el punto final en algún lugar artificialmente como lo hice anteriormente.

Answer 2

No es cierto que cada segmento de línea tiene dos puntos finales. No te olvides que un punto no tiene ningún tamaño, representa un lugar, no una cosa. En el caso del intervalo de $[0, 1]$ tienes el % de puntos finales $0$y $1$, pero en el caso del intervalo de $(0, 1)$ tienes un infintiy puntos que convergen en $0$, respectivamente $1$. Usted puede pensar que el extremo izquierdo es $\lim_{x\to 0} x$ $x>0$ y el punto justo es $\lim_{x\to 1} x$ $x<1$.

Answer 3

El cerrado ray $[a,+\infty) = \{ x \ge a \}$ dispone de un punto adicional al de la ray $(a,+\infty) = \{ x \gt a \}$, pero ambos son definidos usando el número real $a$ 'extremo'.

Sólo por diversión, vamos a definir el subconjunto $P \subset \mathbb R$ por

$\quad P = \{ y \in \mathbb R \,| \, y = x^2 \text{ para algunos } x \in \mathbb R \text{ donde } x \text{ tiene un inverso multiplicativo} \}$

Estos son los números reales positivos. ¿Usted se siente obligado a decir que este juego tiene un extremo?

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La siguiente no es útil para el OP, pero responde a la pregunta de partida', así que lo deje para lo que vale la pena.

Cada intervalo abierto puede ser asignada bijectively a $\mathbb R$; ver por ejemplo este enlace. También,

Deje $A = \{a_0,a_1,\dots,a_n\}$ ser un conjunto finito que es disjunta de a $\mathbb R$. A continuación, una explícita bijective función de $f$ $A \cup \mathbb R$ $\mathbb R$se puede definir: $$ f(x) = \left\{\begin{array}{lr} x, & \text{for } x \in \mathbb R \text{ and } x \notin \mathbb N\\ x + (n+1), & \text{for } x \in \mathbb N\\ k, & \text{for } x \in A \text{ and } x = a_k \end{array}\right\} $$