Deje que $x_1 = (44)^{1/2}$ y $x_{n+1} = (3x_n + 1)^{1/2}$ para $n \geq 1$ .
Demuestra que $x_n$ es irracional para cada $n \geq 1$ .
No tengo ni idea de cómo proceder, ni siquiera pude encontrar una bonita forma cerrada. Lo sé. $(44)^{1/2}$ es irracional, pero ¿qué debo hacer? Me gustaría tener un bosquejo de la prueba y las pistas son muy apreciadas.
Supongamos que para algunos $n$ , $x_n$ es racional. Sabemos que $x_n=(3x_{n-1}+1)^{1/2}$ . Por el álgebra tenemos que $ \frac {1}{3}(x^2_n-1)=x_{n-1}$ y así tenemos que $x_{n-1}$ también es racional.
Al iterar este argumento $n-1$ veces nos enteramos de que $x_1$ es racional. Sin embargo, ya has notado que esto no es verdad. Por lo tanto, $x_n$ no pudo haber sido racional. Ya que esto se aplica a cualquier $n$ no hay ningún valor de la secuencia que sea racional.
Para expresarlo específicamente como inducción, el caso base es simplemente señalar que $44$ no es un cuadrado perfecto. Ahora tenemos que probar la hipótesis inductiva
Si $x_n$ es irracional entonces $x_{n+1}$ es irracional.
Esta afirmación es lógicamente equivalente a su contraposición
Si $x_{n+1}$ es racional entonces $x_n$ es racional.
Esta versión contrapositiva se demuestra en mi primer párrafo, así que como la contrapositiva es verdadera, la declaración original es verdadera. Por lo tanto, por inducción la secuencia completa es irracional.
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