Encontrar la integral $\int_{0}^{1} f(x)dx$ $f(x)+f(1-{1\over x})=\arctan x\,,\quad \forall \,x\neq 0$.

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que $$f(x)+f\left(1-{1\over x}\right)=\arctan x\,,\quad \forall \,x\neq 0$de % $ buscar $$\int_{0}^1 f(x)\,dx$ $ mi intento:

Reemplace $x$ $1/x$ en dada la ecuación
¿$$f\left({1\over x}\right)+f(1-x)=\arctan {1\over x}$$Add ambas ecuaciones $$f(x)+f\left(1-{1\over x}\right)+f\left({1\over x}\right)+f(1-{x})=\arctan x\,+\arctan {1\over x}$$Rearranging thenm da $$f(x)+f(1-x)+f\left({1\over x}\right)+f\left(1-{1\over x}\right)={\pi\over2}$$Now it seems to me that $f (x) = f\left ({1\over x} \right) $ estoy correcto aquí? (No tengo prueba pero) $$f(x)+f(1-x)={\pi\over 4}$$ $% $ $\int_0^1 f(x)\,dx =\int_0^1f(1-x)\, dx={\pi\over 8}$no estoy seguro acerca de mi Asunción. Gracias

Answer 1

Aparentemente no tiene $f(x)=f(1/x)$.

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Que $g(x) = 1-1/x$, entonces tenemos %#% $ #%

Por lo tanto implica la $$g^2 (x) = 1/(1-x) \quad \quad \color{red}{g^3 (x) = x}$ $f(x) + f(g(x)) = \arctan x$ $ $$f(g(x)) + f(g^2(x)) = \arctan(g(x))$ $

Resolución de $$f(g^2(x)) + f(x) = \arctan(g^2(x))$ de estas tres ecuaciones dan %#% $ #%

y sistemática integración da %#% $ #%

Answer 2

Si se establece $h(x)=1-\frac1x$ su ecuación funcional se convierte en $$ f(x)+f(h(x)) = \arctan(x) $ $ A poco álgebra también muestra que el $h(h(h(x)))=x$; Esto nos permite escribir un sistema de ecuaciones $$\begin{array}{crrl} f(x) & {}+ f(h(x)) && {}= \arctan(x) \\ & f(h(x)) & {}+ f(h(h(x))) & {}= \arctan(h(x)) \\ f(x) && {}+ f(h(h(x))) & {}= \arctan(h(h(x))) \end{matriz} $$ que puede solucionar para encontrar una fórmula explícita para $f(x)$: $$ f(x) = \frac{\arctan(x) - \arctan(1-\frac1x) + \arctan(\frac{1}{1-x})}2 $ $ este no satisface $f(x)=f(\frac1x)$ como usted supone.

Answer 3

Un Intento: Vamos A \begin{equation} f(x) + f(1 - \frac{1}{x}) = arctan(x) \tag{1} \end{equation}

La integración de: \begin{equation} \int_0^1 f(x) dx + \int_0^1 f(1 - \frac{1}{x}) dx = \int_0^1 arctan(x) dx \end{equation}

\begin{equation} \int_0^1 f(x) dx + \int_0^1 f(1 - \frac{1}{x}) dx = \frac{1}{4}(\pi-\ln 4) \tag{2} \end{equation}

Ahora, utilizando uno de sus resultados:
$$f(\frac{1}{x}) + f(1 - x) = arctan(\frac{1}{x})$$

e integrando y conectando valor de la RHS

\begin{equation} \int_0^1 f(\frac{1}{x}) dx + \int_0^1 f(1 - x) dx = \frac{1}{4}(\pi+\ln 4) \tag{3} \end{equation}

Ahora el uso de otra de sus resultados:

$$ f(x) + f(1 - \frac{1}{x}) + f(\frac{1}{x}) + f(1 - x) = \frac{\pi}{2}$$

La integración de: $$ \int_0^1 f(x) dx + \int_0^1 f(1 - \frac{1}{x}) dx +\int_0^1 f(\frac{1}{x}) dx + \int_0^1 f(1 - x) dx =\frac{\pi}{2}$$

Utilizando el hecho de que
$$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 f(1 - x) dx \tag{a}$$

tenemos: $$ 2\int_0^1 f(x) dx + \int_0^1 f(1 - \frac{1}{x}) dx +\int_0^1 f(\frac{1}{x}) dx =\frac{\pi}{2} $$

Ahora sustituyendo el valor de $\displaystyle \int_0^1 f(\frac{1}{x}) dx $ (3) al resultado anterior y utilizando (a):

$$ \int_0^1 f(x) dx + \int_0^1 f(1 - \frac{1}{x}) dx =\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}(\pi+\ln 4) \etiqueta{4} $$

Lleva a ninguna parte. Procedimiento General está bien, pero no funcionó.