Yo no estudiando en análisis Real 2, pero tienen idea como solucionar este problema. ¿Mi conjetura es utilizar el teorema del valor medio o un teorema similar? ¿Alguno me podria ayudar?
Gracias.
Respuestas
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Anthony Shaw
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Uno de la serie $\log(2)$ es $ \log (2) = 1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots $$ para una serie alternante, cuyos términos están disminuyendo en valor absoluto, la suma está entre cualquier dos sumas parciales consecutivas, como $$ $$ 1-\frac12+\frac13=\frac56 y \frac12+\ $$ 1 \frac14=\frac7 frac13 {12} $$
rlpowell
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Erick Wong
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Respuesta elegante de J.G. merece ser replanteado en los siguientes sencillos (y tal vez más familiares) forma: podemos aproximar la integral $$\ln 2 = \int_2^4 \frac1x\, dx$ $ por una suma de Riemann dividiendo el intervalo [2,4] en dos partes de anchura $1$. $1/x$ Es estrictamente decreciente en este intervalo, la suma de Riemann de la izquierda es una sobrestimación (estricto) y la suma de Riemann de la derecha es una subestimación (estricta). Por lo tanto:
$$\frac{7}{12} = \frac13 + \frac14 < \int_2^4 \frac1x\, dx < \frac12 + \frac13 = \frac56.$$
je44ery
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Hay una gran cantidad de series que convergen para $\log(2)$. Que converge rápidamente, es\begin{equation} \log(2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k 2^k}. \end{equation} se trata de una suma que está estrechamente relacionado con la serie geométrica y su derivado la. Una vez que se ha derivado de esta suma, sus estimaciones son seguros de seguir.
Tim Almond
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Queremos probar $H_4-H_2<\ln 2<H_3-H_1$ con $$H_n:=\sum_{k=1}^n\tfrac{1}{k}=\sum_{k=1}^n\int_{k}^{k+1}\frac{dx}{\left\lfloor x\right\rfloor}$$ so that $$H_{n+2}-H_{n}=\int_{n+1}^{n+3}\frac{dx}{\left\lfloor x\right\rfloor}\in\left(\int_{n+1}^{n+3}\frac{dx}{x},\,\int_{n+1}^{n+3}\frac{dx}{x-1}\right)=\left(\ln\frac{n+3}{n+1},\,\ln\frac{n+2}{n}\right).$$ Substituting $n = 1 $ gives $ H_3-H_1 > \ln 2 $; substituting $n = 2 $ gives $ H_4-H_2 < \ln 2$.
