Paseo aleatorio que no se limita en $L^1(P)$

Question

Deje $T$ ser una r.v. en $\mathbb{N}$ $(Y_k)_{k\in\mathbb{N}}$ independiente la familia de yo.yo.d. r.v. con $\operatorname{Var}(Y_1)=1$$\mathbb{E}(Y_1)=0$. Set $\mathcal{F}_n=\sigma(T,Y_1\dots,Y_n)$ y $$X_n:=\sum\limits_{k=1}^nY_n,\qquad n\geq 0$$ 1. Mostrar que $(X_n)_{n\geq 0 } $ es una martingala, pero no está limitado en $L^1(P)$

2. Nombre de una distribución de $T$ s.t. el detenido martingala $(X_{n\wedge T})_{n\in \mathbb{N}}$ no es todavía limitada en $L^1(P)$

Puedo mostrar que $(X_n)$ es una martingala y sé que por la CLT $$P\left(\frac{X_n}{\sqrt{n}}\right)\xrightarrow{n\to \infty} \mathcal{N}(0,1)$$ Pero tengo absolutamente ninguna idea de cómo probar que $(X_n)$ no está delimitado en $L^1(P)$. Me resulta extraña, ya que $\mathbb{E}(X_n)=\sum\limits_{k=1}^n\mathbb{E}(Y_n)=0$. ¿Tengo que mostrar de alguna manera que no es uniforme integrable? O hay alguna manera para cambiar el CLT de que podemos influir en el valor esperado en el límite?

2.) También tengo ni idea.

Answer 1

1 (siguiente Kolmo de la pista)

Supongamos por el contrario que

$$\sup_n E[|X_n|] < \infty$$

$$\to \lim_n E[|X_n|] < \infty \ \because \ \{E[|X_n|\}_{n \in \mathbb N} \ \text{is increasing and bounded by (contrary) supposition} \ \because \ |X_n| \ \text{is a submartingale}$$

$$\to E[\liminf_n |X_n|] < \infty \ \text{by MCT}$$

$$\to \liminf_n |X_n| < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to |\liminf_n X_n| < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to \liminf_n X_n > -\infty \ \text{a.s.}$$

Pero

$$\liminf_n X_n = - \infty $$

QED

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2

Necesitamos encontrar a $T$ s.t.

$$\sup_n E[|X_{T \wedge n}|] = \infty$$

Vamos a tratar de visualizar. Si $T=3$, luego

$$\sup_n E[|X_{T \wedge n}|] = \sup\{E[|X_1|], E[|X_2|], E[|X_3|], E[|X_3|], \cdots \} = \max\{E[|X_1|], E[|X_2|], E[|X_3|]\} < \infty$$

Así lo $T$ podría hacer $\sup_n E[|X_{T \wedge n}|] = \infty$ ?

Vamos a tratar de seguir Kolmo de la pista y llegar a algunos no integrable $T$.

Lo que los tiempos de parada no sabemos, por ejemplo, el paseo aleatorio (que satisfacen los supuestos en tu pregunta)?

No $T=\inf_n \{X_n = 1\}$, la primera vez que la suma de $Y_1 + ... + Y_n$ es igual a 1.

Reclamo: $E[|T|] = E[T] = \infty$.

Pf: Supongamos por el contrario que $E[|T|] = E[T] < \infty$. Entonces a partir de la $|X_n - X_{n-1}| = |Y_n| = 1 \le 1$, por Doob del OST, tenemos $$E[X_T] = E[X_1] \to E[1] = 0 \to 1 = 0 ↯$$ QED

Vamos a probar que:

Supongamos por el contrario que $$\sup_n E[|X_{T \wedge n}|] < \infty$$

$$\to \lim_n E[|X_{T \wedge n}|] < \infty$$

$$\to E[\lim_n |X_{T \wedge n}|] < \infty$$

$$\to \lim_n |X_{T \wedge n}| < \infty$$

$$\to |\lim_n X_{T \wedge n}| < \infty$$

$$\to \lim_n X_{T \wedge n} < \infty$$

Ahora se puede demostrar que $T < \infty \ \text{a.s.}$

Así

$$\lim_n X_{T \wedge n} = X_T ( = 1)$$

$$\to 1 = X_T < \infty$$

No hay contradicción, creo.

Pero lo que si tenemos un diferente tiempo de parada de las $T = \infty \ \text{a.s.}$?

Entonces

$$\lim_n X_{T \wedge n} = \lim_n X_n$$

$$\to \lim_n X_n < \infty$$

Estamos perdidos si $\liminf_n X_n \ne \limsup_n X_n$ o $\lim_n X_n = \infty$

Creo $$\limsup X_n = \infty$$ while $$\liminf X_n = -\infty$$

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También, supongo que hay algún tipo de regla que dice

$$E[|T|] = E[T] < \infty \to \sup_n E[|X_{T \wedge n}|] < \infty$$

Si es así creo que la prueba es:

$$\sup_n E[|X_{T \wedge n}|] = E[|X_T|]$$

donde $E[|X_T|] < \infty$ por Doob del OST.

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Otro enfoque pensé:

Desde $X_n$ es una martingala, $X_{T \wedge n}$ es una martingala.

Desde $X_{T \wedge n}$ es una martingala, $|X_{T \wedge n}|$ es un submartingale.

Por lo tanto, $$E[X_1] \le E[|X_{T \wedge n}|] \le E[|X_{T \wedge (n+1)}|]$$

A continuación, ya que

$$\sup_n E[|X_{T \wedge n}|] = \lim_n E[|X_{T \wedge n}|]$$

si suponemos, por el contrario, que

$$\sup_n E[|X_{T \wedge n}|] < \infty$$

a continuación, $\exists K > 0$ s.t.

$$E[|X_{T \wedge n}|] < K \ \forall \ n \in \ \mathbb N$$

debido a un aumento de la secuencia convergente es acotada arriba.

Ahora sabemos que

$$E[|X_{T \wedge n}|] < \infty$$

Así que si nos encontramos con algunos $T$ o $Y_n$ s.t. la secuencia de $$\{E[|X_{T \wedge n}|]\}_{n \in \ \mathbb N}$$ es no acotada arriba, a continuación, hemos terminado.