Si $|x|\leq 1$, $|ax^2+bx+c|\leq 1$, encuentra el máximo valor posible de $|2ax+b|$

Question

Dado $a,b,c\in \mathbb{R}$ tal que $|x|\leq 1$$|ax^2+bx+c|\leq 1$, hallar el valor máximo de

$$ |2ax+b| $$

Mi Intento:

Set $x=1$ $|ax^2+bc+c|\leq 1$ para obtener

$$ \etiqueta{$\star$}|a+b+c|\leq 1 $$

De modo similar, se $x=-1$ $|ax^2+bc+c|\leq 1$ para obtener

$$ \etiqueta{$\star\star$}|a-b+c|\leq 1 $$

De modo similar, se $x=0$ $|ax^2+bx+c|\leq 1$ para obtener

$$ \etiqueta{$\star\star\star$}|c|\leq 1 $$

Ahora, añadiendo $(\star)$ $(\star\star)$ da

$$ |a+c|\leq 1 $$

Restando $(\star)$ $(\star\star)$ da

$$ |b|\leq 1 $$

Ahora, tenemos

$$ -1\leq (a+c)\leq 1\\ -1-c\leq \leq 1-c $$

Desde $-1\leq c\leq 1$, obtenemos

$$ -2 \leq \leq 2,\; -1 \leq b\leq 1 $$

¿Cómo puedo completar la solución de este punto?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $b = 0$, de lo contrario gráfica de la función $x \mapsto ax^2+bx+c$ podría ser desplazado ($x \mapsto x-b/(2a)$).

Así que sabemos que para $x$ tal que $|x| \le 1$ tenemos $|ax^2+c| \le 1$ y quieres maximalize $|2ax|$. Suponga que $a > 0$ (si $a<0$, simplemente multiplicar todo por $-1$). Por lo $|2ax| = 2a |x|$. Debido a la simetría ($b = 0$) podemos suponer incluso que $x > 0$, por lo que estamos maximalizing $2ax$$x \in (0,1)$. Por lo tanto, estamos interesados en cómo de grande $2a$ puede conseguir. Establecimiento $x \in \{0, 1\}$ nos damos cuenta de que $|c+a| \le 1$$|c| \le 1$. Esto significa que $c$ se encuentra en el intervalo de $[-1,1]$ $a$ se encuentra en $[-2,2]$. Puede $a$ ser igual a $2$? Sí, si $c=-1$.

Conclusión: para $a = 2$, $b = 0$, $c = -1$, $x = 1$ tenemos $|2ax + b| = 4$ $4$ no puede ser sustituido por cualquier número mayor.