Comparación de teoría modelo y teoría de la categoría Máster de ' s tesis.

Question

Actualmente estoy realizando una tesis de Maestría en matemáticas puras, y a los dos campos que me excitan son los de la Categoría de Teoría (CT) y el Modelo Teórico (MT).

He estado leyendo en David Marcador del Modelo de la Teoría: Una Introducción, y Saunder MacLane Categorías para el Trabajo Matemático, por lo que tengo un conocimiento básico de ambos. Hasta ahora, me encanta la idea de que ambos proporcionan un marco subyacente de la mayoría de los campos en puras matemáticas.

Sin embargo, he buscado en google pero no hay cantidad de recursos que hay sobre las preguntas abiertas de la aplicación de la TC y MT.

Por lo tanto,

PREGUNTA UNO:- ¿Cuáles son las aplicaciones de la TC y MT, y podría alguien por favor me dan una idea aproximada del futuro paisaje de TC y MT?

En segundo lugar, mis profesores me anima a hacer TC y MT con aplicaciones en mente. Sin embargo, estoy muy interesado en el estudio de PURO TC y MT.

Así,

PREGUNTA DOS:- Hay preguntas abiertas dentro de la TC y MT sí que vale la pena estudiar? (Tanto en una tesis de maestría y doctorados?)

Gracias por su tiempo muchachos!

Answer 1

La interacción entre la TC y MT está bastante bien establecido. El término que se busca es localmente accesibles categorías. Otro tema a mirar puede ser topos de la teoría, de nuevo con un montón de material en línea. Una completa, o incluso una lista parcial de las aplicaciones de la TC y MT requerirá una gran cantidad de bytes. MT tiene aplicaciones en álgebra y en el análisis, y que solo es bastante. Chang & Keisler el libro tiene una lista de problemas abiertos. CT como un idioma es útil bastante mucho a lo largo de las matemáticas, pero es probable buscando aplicaciones más profundas. Puede ser discutible, lo que constituye una profunda aplicación de la TC (había un montón de meta-debates sobre cuánto disparate es de carácter general, abstracto tontería), pero sin duda la TAC es de gran importancia en la topología algebraica, la investigación actual en $\infty $-categorías (ver por ejemplo, Lurie trabajo).

En cuanto a los problemas abiertos en la TC y MT puramente, de nuevo, es tal vez un poco claro lo que eso significa exactamente, pero hay buenas/excelentes revistas dedicadas a MT y CT, y que sería un lugar para mirar para tener una idea de lo que la gente está haciendo.

Espero que esto responda a su pregunta.

Answer 2

Para un buen ejemplo concreto, me gustaría sugerir que se mira en el sintético de la geometría diferencial. Este es un enfoque axiomático de la geometría diferencial, que tiene lugar en un suave topos. La teoría es muy bonita e intuitiva, y permite rigurosamente razón el uso de infinitesimals.

Dado que este es un puramente axiomático de la teoría, usted puede venir para arriba con una variedad de diferentes modelos que satisfacen los axiomas. Los diferenciales de los geómetras serían los más interesados en que son llamados adaptado modelos, donde la categoría de suave colectores incrusta plena y fielmente. Pero hay otros modelos que podrían ser de más interés para algebraica de los geómetras, permitiendo el uso de diferencial-geométrico razonamiento y herramientas en la geometría algebraica.

Si usted está interesado en aprender más, existe una libre disposición de texto por Anders Kock, que es uno de los pioneros de esta teoría.