Serie de competencias perfecta en el triángulo de Pascal

Question

En el Triángulo de Pascal, deje que el número de perfecto poderes y $1$ entre la primera fila y $n$th fila ser $f(n)$.

¿Cuál es el valor de $f(100)$?

Mientras que puede no duda en hacerse con una calculadora, pero no hay otra forma para calcular el $f(100)$?

La primera inicial de los valores de $f(n)$ $1,3,5,7,11,13,15,17,21,27,29,...$

El problema resultó ser bastante difícil, ya que es difícil predecir si $\binom{n}{m}$ es un poder perfecto. ¿Cómo podemos calcular el $f(n)$ para cualquier valor de $n$?

Parece que $f(n)-f(n-1) \le 6$ para valores pequeños de a $n$, pero creo que para algunos de los grandes $n$, $f(n)-f(n-1) \ge 6$.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Hay un teorema por Erdős que (parcialmente) resuelve el problema :

Teorema. La ecuación :$$\binom{n}{k}=m^l$$ has no integer solutions with $l \geq 2$ and $4 \leq k \leq n-4$

Usted puede encontrar una prueba en las Pruebas del LIBRO o directamente en Erdős del papel aquí http://www.renyi.hu/~p_erdos/1951-05.pdf

Esto significa que en una fila , $n$ hay en la mayoría de las $8$ perfecto poderes y así : $$f(n)-f(n-1) \leq 8$$

Parece plausible que la $f(n)-f(n-1) \leq 6$, pero esto significaría para demostrar que $\binom{n}{1}$ , $\binom{n}{2}$ ,$\binom{n}{3}$ no puede ser perfecto poderes al mismo tiempo (y no sé cómo hacer esto).