Me quedé atrapado hoy en día tratando de entender un argumento de Frank den Hollander del Libro. El problema se describe a continuación.
Deje $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ ser el simple paseo aleatorio en $\mathbb{Z}^d$, que es $$ \mathbb{P}(X_i=x)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2d}&\text{if}\ \|x\|=1;\\ &&\\ 0&\text{otherwise.} \end{array}\right. $$ Me gustaría saber cómo probar que $$ \mathbb{P}(S_{2n}=0)\sim 2\left(\frac{d}{4\pi n}\right)^{\frac{d}{2}}, \qquad n\to\infty. $$
Quiero aprender de el Gregorio Lawler del libro que esta es una consecuencia de la Local Teorema del Límite Central. Pero me gustaría saber si se puede demostrar este hecho sin el uso de este resultado. Traté de Taylor Ampliar $$ \hat{p}(k)=\frac{1}{d}\sum_{j=1}^d \cos k_j $$ $k=(k_1,\dots,k_d)\in [-\pi,\pi)^d$ y el uso que $$ \mathbb{P}(S_{2n}=0)=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^d\int_{[-\pi,\pi)^d} [\hat{p}(k)]^{2n} dk. $$ Pero no es trabajo. Cualquier ayuda o referencia es bienvenida. Gracias.
