Cadena de bolitas en un plano inclinado

Question

Supongamos que tenemos algunas plano inclinado, y hay algunos cadena de bolas de longitud $l$ y la masa de $m$ acostado en ella. No hay fricción en el sistema.

1) ¿Qué es $x_0$ (el vertical colgante parte de la cadena) necesario para que la cadena esté en equilibrio?

Respuesta: $l/3$

2) Si se presiona la cadena un poco a la derecha, ¿cuál es la aceleración de la cadena, en el instante cuando la parte vertical de la cadena es: $x$ ($x > x_0$)?

Respuesta: $a(x)=\frac{g}{l}(\frac{3}{2}x-\frac{l}{2})$

3) ¿Cuál es la velocidad de la cadena en el instante cuando todo es vertical (por ejemplo, toda la parte izquierda sobre el plano inclinado "se convirtió en vertical")? (no hay respuesta)

1) no entiendo, ¿por qué la componente del peso de la parte izquierda debe ser igual al peso de la derecha colgando de la parte. Sus vectores no están en la misma línea, así que ¿por qué esta condición de ser necesaria para el equilibrio? También, la parte izquierda está siendo arrastrado por la derecha, así que no debe haber otra fuerza a lo largo de la pendiente.

2) Basado en la primera pregunta, esta debe ser:

$(1-\frac{x_0}{l})mg \sin 30^{\circ}-\frac{x_0}{l}mg=ma$

Sin embargo, esto conduce a un mal $a$, de acuerdo a la respuesta.

3) Basado en el libro la respuesta de 2), esto es correcto?

A partir de la ecuación de Torricelli:

$v^2=v_0^2+2a \Delta x$

$v(x)=\sqrt{v_0^2+2 \int_{l/3}^{x} a(x) dx}$

Por lo tanto:

$v(l)=\sqrt{\frac{20}{3}l}$

Answer 1

Stevin del bucle (o el "epitafio de Stevinus") nos da la respuesta a la primera parte. Es decir, el bucle no se moverá si sus dos lados se extienden a la misma distancia vertical hacia abajo del triángulo.

De modo que su centro de masa se encuentra en el $y$-punto del eje a la mitad del camino por la vertical de la longitud de la cadena (así como la mitad de la manera inclinada hacia abajo de la longitud de la cadena, los números son los mismos.) Así que a partir de la esquina superior del triángulo, el centro de masa es $l/6$ metros hacia abajo, mientras que la cadena está en la posición de partida.

Después de diapositivas de forma que la cadena es totalmente vertical, el centro de masa es $l/2$ metros hacia abajo desde la esquina superior del triángulo.

Hemos asumido el triángulo para ser una superficie sin fricción, de modo que no se pierde energía. Vamos a definir el cero de la energía potencial para ser la esquina superior del triángulo. Luego de conservación de la energía nos dice que $$PE_i+KE_i=PE_f+KE_f$$ $$(0-mgl/6)+0=(0-mgl/2)+mv^2/2$$ $$\sqrt{2gl/3} =v.$$