Demuestra que puedes elegir bases ortonormales de dos subespacios cualesquiera del espacio euclidiano tales que $(e_i, f_j)=0$ si $ i\neq j $

Question

Demuestra que puedes elegir bases ortonormales $(e_1,...,e_k)$ y $(f_1,...,f_j)$ de dos subespacios cualesquiera del espacio euclidiano tales que $(e_i, f_j)=0$ si $i\neq j$ y $(e_i, f_j) \geq 0$

Esta es una pregunta de un banco de preguntas que mi profesor nos enlazó.

La forma en que quiero abordarlo es dejar que $(e_1,...,e_k)$ ser la base estándar y luego definir algún tipo de mapa que garantice $(e_i, f_j)=0$ $\forall$ $i\neq j$

Estoy luchando por ser capaz de idear este mapa por mi cuenta. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Una solución un tanto escurridiza: Dejemos que los subespacios sean $U$ y $V$ dentro del espacio euclidiano $E$ . Sea $\hat{P}:E \rightarrow V$ denotan la proyección, y $P:U \rightarrow V$ denota la restricción de $\hat{P}$ a $U$ . Entonces $A = P^{T}P:U \rightarrow U$ es simétrica, por lo que se puede formar una base ortonormal $e_1,\ldots,e_k$ de $U$ formado por los vectores propios de $A$ . Ordenar la base de manera que los vectores en el espacio nulo de $A$ vienen en último lugar. (nota que $Nul(A) = Nul(P)$ )

Entonces defina $f_i = Pe_i$ para cada uno de los $e_i$ tal que $Pe_i$ son distintos de cero. Tenemos $\langle f_i, f_j \rangle = \langle Pe_i,Pe_j \rangle = \langle e_i, P^{T}Pe_j \rangle = \langle e_i, Ae_j \rangle = \lambda_j \langle e_i, e_j \rangle$ De ahí que el $f_i$ son ortogonales entre sí, y podemos completar esto con una base ortogonal de $V$ .

Queda por demostrar que $\langle e_i, f_i \rangle \geq 0$ y $\langle e_i, f_j \rangle = 0$ si $i \neq j$ .

Si $Pe_i = 0$ entonces $e_i$ es ortogonal a cada vector en $V$ y así $\langle e_i, f_j \rangle = 0$ para todos $j$ .

En caso contrario, tenemos $e_i = f_i + \tilde{f}_i$ , donde $\tilde{f}_i$ es ortogonal a $V$ . Entonces $\langle e_i, f_j \rangle = \langle f_i + \tilde{f}_i, f_j \rangle = \langle f_i, f_j \rangle$ y el resultado se deduce ya que el $f$ forman una base ortogonal.

Por último, normalice el $f$ 's.

Answer 2

Llama a los dos subespacios $V,W$ y llame a $p_V,p_W$ las proyecciones ortogonales sobre estos subespacios.

La cuestión no es fácil, ya que no todos los vectores son candidatos a ser elementos de dicha base. Si $v\in V$ es tal que $p_W(v)\neq 0$ , entonces tomando $p=e_i$ fuerzas $f_i$ sea un múltiplo escalar de $p_W(v)$ ya que debe ser perpendicular a todos los demás $f_j\in W$ que son perpendiculares a $v$ y por lo tanto a $p_W(v)$ . Pero igualmente $v=e_i$ debe ser un múltiplo escalar de $~p_V(f_i)$ y se concluye que $v$ debe ser un vector propio del operador lineal $(p_V\circ p_W)|_V$ en $V$ .

Teniendo en cuenta esto, no es de extrañar que se invoque el teorema espectral. Sea $B$ sea la forma bilineal en $~V$ definido por $B(v,v')=(p_W(v),p_W(v'))$ . (Expresiones alternativas para $B(v,v')$ son $(p_W(v),v')$ o $(p_V(p_W(v)),v')$ .) Esta forma bilineal es claramente simétrica, por lo que por el teorema espectral existe una base ortonormal de $V$ que también es ortogonal para $~B$ (esto es lo mismo que una base ortonormal de vectores propios para $(p_V\circ p_W)|_V$ ). Dado que $0\leq B(v,v)\leq(v,v)$ para todos $~V$ los valores propios de $(p_V\circ p_W)|_V$ se encuentran en el intervalo $[0,1]$ En particular, son no negativos. Ahora se puede tomar el $e_i$ para recorrer dicha base, empezando por las que tienen valores propios no nulos para $(p_V\circ p_W)|_V$ o lo que es lo mismo, imágenes no nulas por $~p_W$ . Si hay $k$ tales vectores, el primero $k$ vectores $f_i$ puede tomarse como $p_W(e_i)$ normalizado a la unidad de longitud por un escalar positivo. Se puede completar con una base ortonormal de $W$ con cualquier base ortonormal de $W\cap V^\perp$ . Comprobar las propiedades requeridas es fácil (y se hace en la respuesta de Alex Zorn).