¿Qué significa tener exactas functors derivados?

Question

Deje $F:\mathcal A\to \mathcal B$ ser un functor entre abelian categorías. Supongamos $F$ es decir, a la izquierda exacto (más de aditivos y covariante). Hemos incorporado a su derecho derivado de functors $R^iF$.

No veo ninguna razón por $R^iF$ debe ser a la izquierda o a la derecha exacto (de curso $R^0F\cong F$ exacto, pero, aparte de esto, yo no veo nada más; o se $R^iF$ necesariamente izquierda exacto?). Mi pregunta es:

¿Qué significa, para $F$, para tener el dinero exacto derivados de functors? ¿Cuáles son ejemplos de este comportamiento?

Pongo la "geometría algebraica" etiqueta porque tengo en mente functors como $F=\Gamma=H^0(X,-)$ donde $X$ es un esquema, o (en general) $F=f_\ast$ $f:X\to Y$ un morfismos de esquemas.

Answer 1

Total derivados functor es un functor exacto entre categorías trianguladas (es decir, respeta distinguido triángulos y traducción functor). Exactitud de cada individuo $R^i F$ quizás no es la mejor manera de pensar acerca de la situación.

Desde el punto de vista técnico cuando se intenta calcular el $R^iF$ usted necesita una resolución, pero usted puede elegir cualquier resolución porque todos son cuasi-isomorfo, esto conduce a una noción de derivada categoría, es decir, los complejos de objetos de un determinado abelian categoría de hasta cuasi-isomorphisms. La definición tiene algunas dificultades técnicas y no es muy sencillo pero se puede encontrar en algunos libros de texto de álgebra homológica. Me gusta Weibel"s Una Introducción al Álgebra Homológica. Derivado de la categoría es una categoría de aditivo, pero en general no abelian, tiene la estructura de un triangular categoría en la noción de exactitud es reemplazado por el distinguido triángulos y exacta functors son functors entre categorías trianguladas que respeta distinguido triángulos (y traducciones).

Exacto functor entre abelian categorías inmediatamente le da un functor exacto entre categorías derivadas, pero si usted comienza con un no functor exacto se puede derivar de ella y conseguir una exacta (total) se burló de functor entre categorías derivadas. Ahora, recuerde que los objetos de derivados de la categoría fueron complejos, en particular al valor total de los derivados functor es complejo y puede tomar cohomology de que comlex y que es $R^iF$.

Para resumir, hay un total de derivados functor entre categorías derivadas y es exacta, y (parcial) derivados de functors $R^iF$ son cohomology si que functor.

Porque estamos en la geometría algebraica sección debería mencionar uno más de referencia donde se puede encontrar una discusión de esta maquinaria con aplicación a la geometría algebraica: R. Hartshorne Residuos y la dualidad.

Answer 2

Creo que la derecha functors derivados a menudo no son izquierdas o derecha exacta. Pero el caso especial siguiente es bastante agradable: Si $R^{n+1} F = 0$, entonces el $R^n F$ es bien exacto. Esto viene de la secuencia de tiempo exacto cohomología inducida por una secuencia exacta corta. Por ejemplo, si un $X$ $n$-espacio dimensional noetheriano, entonces el % de cohomología de gavilla superior $H^n(X,-)$es bien exacto. Si $X$ es una curva lisa y $A \in \mathrm{Coh}(X)$, $\mathrm{Ext}^1(A,-)$ es bien exacto.

Answer 3

El functor $R^i F$ puede ser derecho exacta que puede suceder cuando la mayor cohomology se desvanece, pero la izquierda exactitud es una cosa extraña a pedir. Supongamos que el dominio de $F$ es un abelian categoría con suficiente inyectiva objetos, y considerar la posibilidad de una corta secuencia exacta $$0 \longrightarrow A \longrightarrow I \longrightarrow C \longrightarrow 0$$ donde $I$ es inyectiva. Entonces tenemos una larga secuencia exacta en la cohomology: $$0 \longrightarrow R^0 F A \longrightarrow R^0 F I \longrightarrow R^0 F C \longrightarrow R^1 F A \longrightarrow R^1 F I \longrightarrow \cdots$$ Sin embargo, $R^i F I = 0$$i > 0$, por lo que si $R^1 F$ exacta, entonces estaríamos obligados a concluir que $R^1 F A = 0$, y que, por ende, $R^0 F$ es exacta. Más generalmente, si $R^{n + 1} F$ exacto, a continuación, $R^n F$ tiene que ser el correcto exacta y $R^{n + 1} F = 0$.