Ecuación diferencial especial

Question

Terminé con una ecuación diferencial que se ve así: %#% $ de #% he intentado con Mathematica. Pero no se pudo obtener la respuesta sensata. ¿Me puede ayudar como solucionarlo o darme algunas referencias que puedo pasar por favor? Gracias.

Answer 1

Que $x=e^u$. Cambié a $e$ $f$ en la ecuación para evitar confusiones. Luego, multiplicar por $x^2$ da %#% $ #%

Ahora, si \eqalign $${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}} - ay + \left( {b{x^2} - cx - f{x^3}} \right)y = 0$, entonces ${& x\frac {{dy}} {{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cr & {x ^ 2} \frac {{dy}} {{dx}} = \frac{{{d^2}y}}{{d{u^2}}}-\frac{{dy}}{{du}} \cr} $$ por lo que la ecuación es

$x=e^u$$

o $$\frac{{{d^2}y}}{{d{u^2}}} - \frac{{dy}}{{du}} + \frac{{dy}}{{du}} - ay + \left( {b{e^{2u}} - c{e^u} - f{e^{3u}}} \right)y = 0$ $

$$\frac{{{d^2}y}}{{d{u^2}}} - ay + \left( {b{e^{2u}} - c{e^u} - f{e^{3u}}} \right)y = 0$$

$$\frac{{{d^2}y}}{{d{u^2}}} + \left( {b{e^{2u}} - c{e^u} - f{e^{3u}} - a} \right)y = 0$$$\frac{{{d^2}y}}{{d{u^2}}} + F\left( u \right)y = 0$2^{\rm nd} $This is a $y$ recursivamente.

Answer 2

Solución de la serie en torno a cero:

El punto de $x= 0$ es regular singular. Tomando el anzats $$ y(x) = \sum_{n=0}^\infty q_n x^{n+s} $$ tenemos $$ \sum_{n=0}^\infty [(n+s)^2 - a]q_n x^{n+s-2} -\sum_{n=0}^\infty c q_n x^{n+s-1} + \sum_{n=0}^\infty b q_n x^{n+s} - \sum_{n=0}^\infty e q_n x^{n+s+1} = $$ \begin{multline} q_0(s^2 - a)x^{s-2} + \big[q_1\big((s+1)^2 - a\big) - c q_0\big] x^{s-1} + \\q_2 \big[\big((s+2)^2 - a\big) -c q_1 + b q_0\big]x^s + \sum_{n=0}^\infty \Big(...\Big) \end{multline}

La ecuación indicial es $s^2-a=0$, por lo tanto $s = \pm\sqrt{a}$.

Caso $s = \sqrt{a}$

En este caso \begin{align} q_1(2\sqrt{a} + 1) -c q_0 &=0,\\ q_2(4\sqrt{a} + 2) -c q_1 + b q_0 &=0, \end{align}

y la relación de recurrencia es $$ q_{m+3} = \frac{c q_{m+2} + b q_{m+1} - e q_m}{(m+3)(m + 3 + 2\sqrt{a})}. $$

Esto, suponiendo que todos mis álgebra es la derecha.

Lo importante aquí es que $$ y(x) \sim x^\sqrt{a} z(x), $$

que, combinado con la forma de $F(u)$ obtenido por Pedro Tamaroff, podría ayudar a proponer una solución del tipo $$ y(x) = x^\sqrt{a} \exp[\sqrt{F(u)} x] v(x), $$ en una manera similar como se hace al momento de resolver el Átomo de Hidrógeno o el Oscilador Armónico Cuántico como la física moderna libros de texto (ver Eisberg Fundamentos de la Física Moderna, el átomo de Hidrógeno de la solución), que puede conducir a un relativamente simple formulario para $v(x)$.

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Edición 1

Tomando el cambio de variables $$ y(x) = \frac{z(x)}{\sqrt{x}}, $$ se termina con la ecuación $$ z" + \left\{\frac{1-4\alpha}{x^2} + \beta \frac{\gamma}{x} - \epsilon x\right\}z = 0 $$ (donde yo he cambiado las constantes para las letras griegas para evitar la $e$ confussion).

Si $\epsilon = 0$, entonces, como Robert Israel señala, se reduce a la Whittaker Ecuación Diferencial (usando el buen reescalado). También, para$\alpha =1/4$$\gamma = 0$, usted tiene la Ecuación Diferencial de Airy.

Utilizando la aproximación WKB, $$ z(x) \sim de Un f^{-1/4} e^{\int f^{1/2} dx} + B f^{-1/4} e^{-\int f^{1/2} dx} $$ donde $$ f(x) = \frac{1-4\alpha}{x^2} + \beta\frac{\gamma}{x} -\epsilon x. $$ usted puede tratar de encontrar el comportamiento asintótico de $z$, que creo que es $$ z(x) \sim \frac{e^{-\frac{2}{3}(\epsilon^{1/3} x)^{3/2}}}{(\epsilon^{1/3} x)^{1/4}} $$ para $x > 0$, y jugar con la ecuación diferencial resultante de tomar $$ z(x) = \frac{e^{-\frac{2}{3}(\epsilon^{1/3} x)^{3/2}}}{(\epsilon^{1/3} x)^{1/4}} v(x). $$

Answer 3

No sé si hay forma cerrada soluciones en general. En el caso de $e=0$, Arce encuentra una solución con el uso de Whittaker M y W funciones: $$y \left( x \right) =c_{{1}} {{\rm \bf M}\left({\frac {ic}{2\sqrt {b}}},\,\sqrt {a},\,2\,i\sqrt {b}x\right)} {\frac {1}{\sqrt {x}}}+c_{{2}} {{\rm \bf W}\left({\frac {ic}{2\sqrt {b}}},\,\sqrt {a},\,2\,i\sqrt {b}x\right)} {\frac {1}{\sqrt {x}}} $$ Otro interesante caso especial es $a=1/4$, $c=0$, donde Maple solución implica funciones de Airy: $$ y \left( x \right) =c_{{1}} {\text{Ai}\left(-{\frac {b-ex}{ \left( -e \ \ derecho) ^{2/3}}}\right)}{\frac {1}{\sqrt {x}}} +c_{{2}}{\text{Bi}\left(-{\frac {b-ex}{ \left( -e \ \ derecho) ^{2/3}}}\right)}{\frac {1}{ \sqrt {x}}} $$

EDIT: tenga en cuenta que la escala de la $x \to k x$ conserva la forma de la ecuación diferencial con $(a,b,c,e) \to (a,k^2b, kc,k^3e)$. Así que si $e \ne 0$ podemos asumir WLOG que, dicen, $e=1$.

Como @Pragabhava señaló, el indicial raíces se $\pm \sqrt{a}$, por lo menos $\sqrt{a}$ es un número entero habrá dos soluciones fundamentales de la forma $$\eqalign{y_1(x) &= x^{\sqrt{a}} \left(1 + \sum_{j=1}^\infty u_j x^j\right)\cr y_2(x) &= x^{-\sqrt{a}} \left(1 + \sum_{j=1}^\infty v_j x^j\right)}$$ with coefficients satisfying the recurrences $(2 \sqrt{a} j+j^2) u_j - c u_{j-1} + b u_{j-2} - u_{j-3} = 0$ (with $u_0 = 1$, $u_j = 0$ for $j < 0$) y $(-2 \sqrt{a} j+j^2) v_j - c v_{j-1} + b v_{j-2} - v_{j-3} = 0$ (con $v_0 = 1$, $v_j = 0$ para $j < 0$). Si $\sqrt{a}$ es un número entero la segunda repetición se convierte en singular en $j=2\sqrt{a}$, generalmente resultando en términos logarítmicos. Creo que no hay forma cerrada de soluciones para las recurrencias.

Answer 4

$\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{ay}{x^2}+\left(b-\dfrac{c}{x}-ex\right)y=0$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx}-\left(ex-b+\dfrac{c}{x}+\dfrac{a}{x^2}\right)y=0$

Deje $y=\dfrac{u}{\sqrt{x}}$ ,

A continuación, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{2x\sqrt{x}}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\dfrac{d^2u}{dx^2}-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\dfrac{du}{dx}-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\dfrac{du}{dx}+\dfrac{3u}{4x^2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\dfrac{d^2u}{dx^2}-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}\dfrac{du}{dx}+\dfrac{3u}{4x^2\sqrt{x}}$

$\therefore\dfrac{1}{\sqrt{x}}\dfrac{d^2u}{dx^2}-\dfrac{1}{x\sqrt{x}}\dfrac{du}{dx}+\dfrac{3u}{4x^2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}\dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{2x^2\sqrt{x}}-\left(ex-b+\dfrac{c}{x}+\dfrac{a}{x^2}\right)\dfrac{u}{\sqrt{x}}=0$

$\dfrac{1}{\sqrt{x}}\dfrac{d^2u}{dx^2}-\left(ex-b+\dfrac{c}{x}+\dfrac{4a-1}{4x^2}\right)\dfrac{u}{\sqrt{x}}=0$

$\dfrac{d^2u}{dx^2}-\left(ex-b+\dfrac{c}{x}+\dfrac{4a-1}{4x^2}\right)u=0$

El por encima de la educación a distancia es hipergeométrica sólo cuando los casos especiales a continuación:

$1$. $e=0$

$2$. $b=0$ y $c=0$

$3$. $c=0$ y $a=\dfrac{1}{4}$

Distinto de los anteriores casos especiales por encima de la educación a distancia no está hipergeométrica.

Por desgracia, también no pertenece a ninguna confluentes formas de Heun de la ecuación.

Por lo tanto, para resolver el por encima de la educación a distancia en general, es extremadamente difícil.

Una de las principales razones es que el coeficiente de $u$ tiene demasiados términos o contiene demasiado alto poder. La misma situación también aparece en Titchmarsh de la educación a distancia.