Demostrar que el determinante de esta matriz se puede representar como un polinomio.

Question

Que $A=(A_{ij})$ sea una matriz cuadrada de orden $n$. Verificar que el factor determinante de la matriz

$\left (\begin{array}{ccc} a_{11}+x & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}+x & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+x \end{matriz} \right)$,

se puede representar como el polinomio $x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$, donde cada coeficiente $a_k$ es la suma de los menores de orden $k$ de la matriz $A$.

Intenté utilizar la definición del determinante por la extensión del cofactor pero es muy largo, me preguntaba si hay una manera más corta para mostrar esto.

Answer 1

Escribir cada columna$~j$ $A+xI_n$ como una suma de la columna de$~j$$~A$ $x$ veces columna de $j$$~I_n$. Ahora aplicar multi-linealidad de la determinante con respecto a las columnas para cada una de las columnas, para obtener una suma de $2^n$ determinantes (cada columna era una suma de $2$ términos, y se duplicó el número de términos obtenidos para el conjunto de la determinante). La suma puede ser indexado por los $2^n$ subconjuntos de a $\{1,2,\ldots,\}$, es decir, el subconjunto de las columnas para las que implican $x$ fue el elegido. Se obtiene $$ \det(A+xI_n) = \sum_{S\subseteq\{1,2,\ldots,\}}x^{|C|}\det M(S,A) $$ donde $M(S,A)$ denota la matriz obtenida de a$~A$ mediante la sustitución de las columnas cuyo índice aparece en$~S$ por la correspondiente columna de$~I_n$.

Ahora fijación $S$, el determinante de a $M(S,A)$ puede ser sucesivamente desarrolladas por las columnas seleccionadas por$~S$, los que se toman de$~I_n$, que el desarrollo implica un solo término distinto de cero cada vez. Lo que queda es el determinante de la matriz obtenida de a $A$ mediante la eliminación de las filas y las columnas cuyo índice se encuentra en$~S$. Este es un director menor de orden $n-|S|$. Así que después de recoger los términos con el mismo poder de$~x$, el coeficiente de$~a_k$ $x^{n-k}$ es la suma de todos los principales menores de orden$~k$$~A$. Con esa corrección, la instrucción dada ha sido probada.

Answer 2

Simplemente tenga en cuenta que un determinante se calcula como la suma y el producto de finito muchos términos polinómicos, que resulta en un polinomio. Usted puede demostrar que con un argumento de inducción, aunque realmente no creo que es necesario.