¿Homotopía depende de la función o la imagen?

Question

Estoy empezando a leer sobre topología algebraica, y me pregunto si homotopía depende de la función o la imagen. Según la definición de Munkres, dos función continua $f,g:[0,1]\to Y$ se dice que son homotópicas si existe un mapa continuo $F:[0,1]\times[0,1]\to Y$ tal que

$$F(0,x)=x_0$$ $$F(1,x)=x_1$$ $$F(x,0)=f(x)$$ $$F(x,1)=g(x)$$

Ahora si $f:[0,1]\to Y$ es una función continua dada y $g:[0,1]\to f(X)$ es una función continua sobreyectiva con los mismos puntos finales como $f$. ¿Es necesario $f$ y $g$ homotópicas?

Answer 1

Jajaja Consideremos el caso de la unidad círculo $S_1=\mathbb R/\mathbb Z$. El mapa $f(x)=x$ vientos alrededor del círculo, donde $g(x)=x+x$ vientos alrededor del círculo dos veces. Tienen la misma imagen y los extremos de la misma, pero no son homotópicas.

Un ejemplo algo más general es tomar una curva no homotópicas a la trivial curva. Entonces, construir una nueva curva que atraviesa esa curva una vez y luego la atraviesa en sentido contrario. El primero no homotópicas a la curva del trivial, pero es el último.

Answer 2

Jajaja Considerar los caminos $$ f: [0, 1] \to S ^ 1: \mapsto t (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t) \\ g: [0, 1] \to S ^ 1: \mapsto t (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t). $$ Estos son ambos sobreyectiva en el círculo de la unidad $S^1$ y tienen el mismo iniciar y terminar puntos, pero no son homotópicas como trayectorias en $S^1$. ( Son homotópicas como mapas en $\mathbb R^2$, sin embargo!)