Encontrar la suma de una serie

Question

He estado teniendo algunos problemas con estas dos series.

$$\begin{align}&\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{n}{3^n}\\&\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^n}{n+1}+\frac{(-1)^n}{n+2}\right)\end{align}$$

La primera parece similar a una serie geométrica, pero no sabe qué hacer con ese extra $n$.

El segundo que realmente no sé qué hacer tampoco.

Realmente le agradeceria cualquier ayuda que me puedan brindar, gracias!

Answer 1

$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n\ge 0}\left(\frac{(-1)^n}{n+1}+\frac{(-1)^n}{(n+2)}\right) & = \sum_{n\ge 0}\left(\int_{0}^{1}(-1)^nx^{n}\;{dx}+\int_{0}^{1}(-1)^nx^{n+1}\;{dx}\right) \\& = \int_{0}^{1}\left(\sum_{n\ge 0}(-1)^nx^{n}+\sum_{n\ge 0}(-1)^nx^{n+1}\right)\;{dx} \\& = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x}+\frac{x}{1+x}\;{dx} \\& \\& = \int_{0}^{1} \;{dx} \\& = 1. \end{aligned}$

Answer 2

Pista para la primera serie: expandirlo como una suma de serie geométrica. Esta es la forma más directa para solucionar esto, aunque hay otros.

Pista para la segunda serie: escribe los primeros términos pocos y ver qué consigues.

Edit: Aquí es cómo podría utilizarse el primer indicio: $$ \sum_{n=1}^\infty nx^n = \sum_{m \geq 1} \sum_{n \geq m} x^n = \sum_{m \geq 1} \frac{x^m}{1-x} = \frac{x}{(1-x)^2}. $ $

Answer 3

Para el primero de ellos, que $s_{n} = \sum_{k=1}^{n} k x^{k}$. Entonces, $$\begin{aligned} xs_{n}&=\sum_{k=1}^{n}kx^{k+1}\\ &=\sum_{k=1}^{n}(k+1-1)x^{k+1}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)x^{k}\\ &=nx^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}(k-1)x^{k}\\ &=nx^{n+1}+s_{n} - \sum_{k=1}^{n}x^{k}\\ &=nx^{n+1}+s_{n} -\frac{x - x^{n+1}}{1-x}. \end{alineado} $$ ahora, resolver $s_{n}$, sistema de $x = -1/3$% y dejó $n\to\infty$.

Para el segundo, tenga en cuenta % $ $$ \frac{(-1)^n}{n+1} + \frac{(-1)^n}{n+2} = \frac{(-1)^n}{n+1}-\frac{(-1)^{n+1}}{n+2}. $

Que $w_{n} = (-1)^n/(n+1)$. Luego, la segunda serie se reduce a $$\begin{aligned} \lim\sum_{n=0}^{m} (w_{n}-w_{n+1})&=\lim\left[-\sum_{n=0}^{m}(w_{n+1}-w_{n})\right]\\&=\lim(w_{0}-w_{m+1})\\&=\lim\left(1+\frac{(-1)^m}{m+2}\right)\\&=1. \end{aligned}$ $