explicación de una integral triple $\iiint _{x^2+y^2+z^2<R^2}\left|xz\right|y^2dxdydz\:$

Question

Estoy tratando de averiguar cómo el mi libro resolver este ejercicio:

$$\iiint _{x^2+y^2+z^2<R^2}\left|xz\right|y^2dxdydz\:$$

LIBRO DE LA SOLUCIÓN:

$$\iiint _{x^2+y^2+z^2<R^2}\left|xz\right|y^2dxdydz\: = 8\iiint _Sxzy^2dxdydz\:$$ con: $$S=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2<R^2, x\ge0, y\ge0, z\ge0\}$$ Podemos transformar en coordenadas esféricas: $$S=\{(\rho,\phi,\theta): \rho \in [0,R], \phi\in[0,\frac{\pi}{2}], \theta \in [0,\frac{\pi}{2}]\}, dxdydz=\rho^2\sin\phi d\phi d\theta d\rho$$ entonces, el ejercicio continúa con la triple solución integral después de la transformación (que no es difícil).

MI DUDA

voy a informar a continuación, lo que no me queda claro (marcada en rojo)

$$\iiint _{x^2+y^2+z^2<R^2}\left|xz\right|y^2dxdydz\: = \color{red}{8\iiint_Cxzy^2dxdydz\:}$$ No puedo entender cómo estas dos integrales puede ser igual.

Entonces: $$S=\{(\rho,\phi,\theta): \rho \in [0,R], \color{red}{\phi\in[0,\frac{\pi}{2}]}, \color{red}{\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]}\}, dxdydz=\rho^2\sin\phi d\phi d\theta d\rho$$ ¿por qué en ese rango? Gracias

Answer 1

Dejó $$\begin{aligned} D_1&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~x^2+y^2+z^2\leq R^2\},\\ D_2&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~x^2+y^2+z^2\leq R^2,\ x\geq 0\}\\ D_3&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~x^2+y^2+z^2\leq R^2,\ x\geq 0,\ y\geq 0\}\\ D_4&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~x^2+y^2+z^2\leq R^2,\ x\geq 0,\ y\geq 0,\ z\geq 0\}. \end{alineado} $$, ya que su función $f(x,y,z)=|xz|y^2$ es uniforme en todas las tres variables, $$\begin{aligned} \iiint_{D_1}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz &= 2\iiint_{D_2}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\ &= 4\iiint_{D_3}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\ &= 8\iiint_{D_4}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \end{alineado} $$ además, $D_4$ tienes $f(x,y,z)=xy^2z$.

Para la segunda pregunta, en coordenadas esféricas el primer octante satisface el límite para los ángulos, es decir, $0\leq\phi\leq\pi/2$ y $0\leq\theta\leq\pi/2$. Haz un dibujo y asegúrese de que comprende.