Deje $p(\lambda)=p_{0}+p_{1}\lambda+\ldots+p_{n-1}\lambda^{n-1}+p_{n}\lambda^{n}$.
Deje $Q(\lambda)$ ser la matriz adjunta de la matriz cuadrada $A-\lambda I$, lo que puede ser considerado como un polinomio en $\lambda$ y con la matriz de coeficientes (véase el este de 2 en 2 y de 3 por 3 casos):$Q(\lambda)=Q_{0}+\lambda Q_{1}+\ldots+\lambda^{q-1}Q_{q-1}+\lambda^{q}Q_{q}$ donde $Q_{q}$ son constantes las matrices.
Por un lado, en virtud de la Regla de Cramer (Laicos P179 Thm 8), $(adjA)A=(detA)I$.
Así, por $A-\lambda I$ en lugar de: $( \, adj (A-\lambda l) \, )(A-\lambda l) =det (A-\lambda l )I$ $\implica Q(\lambda)(A-\lambda l)=p(\lambda)I=p_{0}I+p_{1}\lambda I+\ldots+p_{n-1}\lambda^{n-1}I+p_{n}\lambda^{n}I.$$1.$ ¿Cuál es la prueba de la estrategia? ¿Cómo se podía determinar/divino/previse los pasos clave, tales como la consideración de la adjunta de a $A-\lambda I$, la Regla de Cramer, y escribir $Q(\lambda)(A-\lambda I)$ en dos formas?
Por otro lado, $Q(\lambda)(A-\lambda I)=Q_{0}+\lambda(Q_{1}-Q_{0})+\ldots+\lambda^{p}(Q_{q}A-Q_{q-1})-\lambda^{q+1}Q_{q}. $ Igualar las dos expresiones para $Q(\lambda)(A-\lambda I)$ wrt poderes de $\lambda$ como sigue. Por lo tanto $q=n-1$.
$2.$ Qué $q = n - 1$?
Para ahorrar espacio, I (también simultáneamente) se multiplican los siguientes por los diferentes poderes de $A$ en naranja: $Q_{0}A=p_{0}I,$
$\color{orangered}{A(} Q_{1}A-Q_{0}=p_{1}I \color{orangered}{)} ,$
$...,$
$\color{orangered}{A^{n-1}(} Q_{n-1}A-Q_{n-2}=p_{n-1}I \color{orangered}{)} ,$
$\color{orangered}{A^{n}(} -Q_{n-1}=p_{n}I \color{orangered}{)}.$$3.$ ¿Cuál es la prueba de la estrategia, con respecto a estas multiplicaciones de $A^i$ todos los $1 \le i \le n$ en naranja?
Agregar todas las igualdades juntos: $RHS = p(a)=p_{0}I+p_{1}+\ldots+p_{n-1}^{n-1}+p_{n}^{n} \\ = LHS =O = \text{ matriz cero }. $
Addendum: he elegido este como parece la más sencilla. Por favor, indique si otros son aún más fácil.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Antecedentes: Vamos a $A$ $N\times N$ matriz sobre un campo $F$, y supongamos que $P$, $Q$ son polinomios con $N\times N$ matriz de coeficientes $P_{j}$, $Q_{j}$, respectivamente. Es decir, $$ P(\lambda) = \sum_{j=0}^{J}\lambda^{j}P_{j},\;\;\;Q(\lambda)=\sum_{k=0}^{K}\lambda^{k}Q_{k} $$ El problema que limita la utilidad de la matriz de polinomios es que (a) la evaluación de tales polinomios en una matriz de $A$ no es única, y (b) la evaluación no necesariamente preservar factorings. Por ejemplo, considere a la izquierda y a la derecha las evaluaciones de $P$ $A$ (otras evaluaciones son posibles): $$ P_{l}(A)=\sum_{j=0}^{J}^{j}P_{j},\;\;\; P_{r}. (A)=\sum_{j=0}^{J}P_{j}^{j}. $$ $PQ$ es una bien definida la matriz polinomial $$ (PQ)(\lambda) = \sum_{j=0}^{J}\sum_{k=0}^{K}\lambda^{j+k}P_{j}Q_{k}. $$ Observe, sin embargo, que los siguientes no son necesariamente iguales: $$ (PQ)_{r}. (A)=\sum_{j=0}^{J}\sum_{k=0}^{K}P_{j}Q_{k}^{j+k},\;\;\; P_{r}. (A)Q_{r}. (A)=\sum_{j=0}^{J}\sum_{k=0}^{K}P_{j}^{j}Q_{k}^{k} $$ Polinomio factorings generalmente no son conservados por la izquierda o a la derecha de la evaluación, o por cualquier otro tipo de evaluación. Sin embargo, hay casos especiales en los que la evaluación conserva factorings.
Lema [Matriz Polinomio Factorización]: Vamos a $P$ $Q$ ser la matriz de polinomios cuyos coeficientes son a $N\times N$ matrices con entradas en un campo $F$. Si una $N\times N$ matriz $A$ $F$ viajes con $Q_{r}(A)$, luego de una evaluación satisface $$ (PQ)_{r}. (A)=P_{r}. (A)Q_{r}. (A). $$ Del mismo modo, si $A$ viajes con $P_{l}(A)$, luego a la izquierda de la evaluación cumple $$ (PQ)_{l}(A)=P_{l}(A)Q_{l}(A), $$
Este simple caso especial lema es suficiente para darle la Cayley-Hamilton Teorema. De hecho, si $A$ $N\times N$ matriz $F$, luego $$ Un\mbox{adj}(A)=\mbox{adj}(a)=\mbox{det}(A)I, $$ donde $\mbox{adj}(A)$ es el complemento de la matriz de los cofactores. En particular, la sustitución de $A$ $\lambda I-A$ da $$ \mbox{adj}(\lambda I-A)(\lambda I-A)=p(\lambda)I, $$ donde $p$ es el polinomio característico de a $A$. Es fácil ver que $$ P(\lambda)=\mbox{adj}(A-\lambda I)=P_{0}+\lambda P_{1}+\cdots+\lambda^{n-1}P_{n-1},\;\; Q(\lambda)=\lambda I-a $$ son la matriz de polinomios tales que el $A$ viajes con $Q_{r}(A)=0$. Así que, por el factoring lema, $$ p(a)=(pI)_{r}. (A)=(PQ)_{r}. (A)=P_{r}. (A)Q_{r}. (A)=P_{r}. (A)0 = 0, $$ que es una declaración de la Cayley-Hamilton Teorema.
