Racionalidad y triángulos

Question

Consideremos un triángulo con ángulos $\alpha, 5\alpha, 180-6\alpha$ . ¿Cuál es el perímetro mínimo de ese triángulo, si tiene lados enteros y $5\alpha<90$ ?.

Llamemos a los lados que se enfrentan a cada ángulo $x,y,z$ respectivamente, y establecer $\cos \alpha =t$ . Utilizando la ley de los senos , $x=2R\sin\alpha, y=2R\sin5\alpha, z=2R\sin6\alpha$ . Configurar $2R\sin\alpha=k$ tenemos las formas parametrizadas $$x=k$$ $$y=k(16t^4-12t^2+1)$$ $$z=k(32t^5-32t^3+6t)$$

Me quedé atrapado aquí. Si $t$ es racional, creo que podríamos argumentar para concluir que $t=20/21$ ( Actualización final : No, estaba equivocado). Pero eso dependería de este lema:

Si $32t^5-32t^3+6t$ y $16t^4-12t^2+1$ son racionales, entonces también lo son $t$ .

¿Es correcta esta afirmación? Si no es así, ¿hay una forma más fácil de resolver la pregunta original?

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Editar: He conseguido demostrar que mi última proposición es falsa cuando $t=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}, t=\frac{1\pm\sqrt5}4$ pero es cierto por lo demás. $16t^4-12t^2+1$ es racional si $16t^4-12t^2$ es, y luego nos fijamos: $$16t^4-12t^2=p$$ $$32t^5-32t^3+6t=q$$ $$\implies 2tp-\frac{p}{2t}=q$$ Resolver para $t$ obtenemos $$t=\frac{q\pm\sqrt{4p^2+q^2}}{4p}$$ Sustituyendo en la primera ecuación con el caso positivo (es análogo en el negativo), obtenemos $$\frac{q^4}{2 p^4}+\frac{q^2}{2 p^2}-\frac{q\sqrt{4 p^2+q^2}}{2 p^2}+\frac{q^3\sqrt{4 p^2+q^2}}{2 p^4}-2=p$$ Si $4p^2+q^2$ no es un cuadrado perfecto, entonces $p=\pm q$ o $q=0$ . El mazo de Wolframalpha ambos casos (sólo es necesario comprobar un caso, ya que el otro corresponde a invertir el signo de $t$ ), vemos que todas las soluciones son racionales $p,q$ .

Volviendo al problema original, podemos olvidar esas soluciones ya que queríamos $0<5\alpha<90$

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Segunda actualización: Sustituyendo $2t=a/b$ con coprima $a,b$ vemos que tenemos que minimizar $x+y+z$ con sujeción a $x,y,z$ siendo números enteros y $2\cos18<a/b<2$ . Por lo tanto, queremos minimizar: $$k\left(\left(\frac ab\right)^5+\left(\frac ab\right)^4-4\left(\frac ab\right)^3-3\left(\frac ab\right)^2+3\left(\frac ab\right)+2\right)$$ Es fácil ver que al reducir al común denominador $b^5$ . el numerador será coprimo debido a que el coeficiente principal es $1$ . Por lo tanto, $k$ debe ser $b^5$ para tener números enteros(y no otro múltiplo de $b^5$ ya que queremos minimizar el perímetro). Así que el problema se reduce a:

Minimizar $$a^5+a^4b-4a^3b^2-3a^2b^3+3ab^4+2b^5$$ Sujeto a $a,b$ enteros positivos, $2\cos18<a/b<2$

Answer 1

Por fin se ha resuelto el problema! para abreviar, vamos a poner $2\cos18=x$ . A partir de las desigualdades $a\le2b$ y $2\cos(18)b\le a$ vemos las desigualdades triviales: $$a^5\ge(xb)^5,a^4\ge(xb)^4, -a^3\ge-8b^3,-a^2\ge-4b^2,a\ge xb$$ Así que \begin{align*} P(a,b)&=a^5+a^4b-4a^3b^2-3a^2b^3+3ab^4+2b^5\\ &\ge b^5(x^5+x^4-32-12+3x+2)\\ &\approx 1.69549b^5 \end{align*} Si $b\ge15, P>1287512.71875\implies P\ge1287513$ . Ahora tenemos un límite superior para el mínimo $P$ . Como queremos $2\cos18<\frac ab\le \frac{2b-1}{b}<2$ , obtenemos que $b>(2-2\cos18)^{-1}>10$ Así que $b\ge 11$ . Finalmente, nos queda probar los pares $a,b$ que cumplan los requisitos y comparar el $P$ que corresponde a cada par. Así que calculamos $$P(21,11)=1224640$$ $$P(23,12)=1972355$$ $$P(25,13)=3046536$$ $$P(27,14)=4543825$$ Por tanto, el perímetro mínimo del triángulo propuesto es $1224640$ con $t=21/22$ y no $20/21$ como se había previsto inicialmente.