Cantidad de compuestos que comparten un factor con $n$

Question

¿Hay alguna manera de utilizar la función φ de Euler para representar la cantidad de compuestos extraños que comparten un factor entero $n$ $n$ menos? Por ejemplo,

$n-\phi(n)$ representa la cantidad total de compuestos menos del $n$ que comparten un factor con $n$. ¿Cómo podría reducir esto a solamente los compuestos impares?

Answer 1

Si $n$ es aún, entonces no hay número par es relativamente primer a $n,$ $n-\phi(n)$ números no-relativamente-prime-a-n incluyen la $n/2$ incluso los números, así que en ese caso, su número es: $$n/2 - \phi(n).$$

Si $n$ es impar, entonces el número de números no-relativamente-prime a $n$ es el mismo que el número de número de $\leq \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ no-relativamente-prime a $n.$ Ahora el número de enteros primos relativos a $n$ e inferior o igual a $n/2$ $\Phi(n, \lfloor \frac{n}{2}\rfloor),$ donde $\Phi(n, x)$ está definido (ver esta pregunta) como $$\Phi(n,x)=x-\sum_i\lfloor{x/{p_i}}\rfloor+\sum_{i \lt j}\lfloor x/{p_ip_j}\rfloor-\cdots+(-1)^{k}\lfloor x/{n}\rfloor,$$ y por lo tanto el número de números no-relativamente-prime-a-n es igual a $$E(n) = \lfloor \frac{n}{2}\rfloor - \Phi(n, \lfloor \frac{n}{2}\rfloor).$ $ , El número de impares no relativel-primer enteros es $$n-\phi(n) - E(n).$$ No estoy seguro de si se puede simplificar esta de más.