Expresando $\prod_{k=1}^n \left( k - \frac{1}{2} \right)$ usando la función gamma

Question

Quiero expresar $$\prod_{k=1}^n \left( k - \frac{1}{2} \right)$$ el uso de la función gamma. Creo que esto es equivalente a $\left(k-\frac{1}{2}\right)!$ así que me puse a $a=k-1$ y, a continuación, utilizar la identidad de $$\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi}$$ para obtener $$\prod_{k=1}^n \left( k - \frac{1}{2} \right) = \left(a+\frac{1}{2}\right)! = {\Gamma(2k - 1) \over 4^{k-1} \Gamma(k)} \sqrt{\pi}$$ Sin embargo, Wolfram Alpha no está de acuerdo con esto mucho más sucinta respuesta: $$\frac{\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}}$$

Wolfram Alpha respuesta se parece más a la de entero relación entre gamma y factorial... excepto para el factor de $\sqrt{\pi}$ que estoy en una pérdida para explicar. ¿Cómo puedo obtener de mi finito producto de esta expresión?

Answer 1

Definir $a_n:=\prod_{k=1}^n\left(k-\frac 12\right)$. De la relación $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ $x$ positiva, derivamos $$k-\frac 12=\frac{\Gamma(k+1-1/2)}{\Gamma(k-1/2)},$ $ por lo tanto el producto que define $a_n$ es telescópico. Obtener desde $$a_n=\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(1/2)}.$ $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ $, obtenemos la misma fórmula como Wolfram Alpha.

Answer 2

El primer tipo de identidad no necesita ninguna función gamma para llegar a un resultado correcto. $ \prod_{k=1}^n\left(k-\tfrac12\right)=\frac1{2^n}\prod_{k=1}^n(2k-1) = \frac1{4^nn!} \prod_{k=1}^n(2K)(2K-1)=\frac{(2n)!} {4 ^ nn!} $$

Answer 3

El factorial tiene dos definiciones equivalentes. Primero, espero que hayan aprendido

$k!=k\cdot(k-1)\ldots2\cdot1$ o "$k$ factorial es el producto de todos los enteros de $1$$k$"

Esta es una buena definición en la que es natural - parece razonable dadas las situaciones en las que el factorial es útil (en la combinatoria, por ejemplo). Por otro lado, no se presta a sensato generalizaciones. No hay un equivalente a la definición, a pesar de que, en la forma de una relación de recurrencia.

$k!=k\cdot (k-1)!$ , e $1!=1$

Ahora, esta es , obviamente, el mismo que la primera definición al $k$ es un entero positivo, pero si tenemos que definir un razonable valor, por ejemplo, $(1/2)!$, entonces podemos generar los valores de $(3/2)!$, $(5/2)!$, etc.

Lo que ha hecho es establecer $(1/2)!=1/2$ (y, me imagino, $x!=x$ todos los $x \in (0,1)$) y eso está bien, pero resulta que, si bien esto parece como un sensible generalización, no es en realidad el más interesante o natural. Vamos a llamar a su generalización $f(x)$, y defina en la positiva reales como $$f(x) = xf(x-1) \text{ and }f(x)=x \text{ if } x \in (0,1]$$ Tenemos que $f(x)=x!$ al $x$ es un entero positivo, y ahora podemos poner en cualquier real positivo que nos gusta. No está de acuerdo con nuestra convención habitual de $0!=1$ al $x$ es cerca de $0$, pero que también está bien - no necesariamente tenemos que estar de acuerdo con esa convención.

La función Gamma, sin embargo, es un poco diferente. $\Gamma(x)$ se define generalmente como $$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-u}du$$ y de hecho puede ser demostrado que $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$$\Gamma(1)=1$, y, por tanto, que el $\Gamma(x+1)=x!$ al $x$ es un número entero positivo (que es una pequeña traducción de nuestra segunda definición para el factorial). Sin embargo, $\Gamma(x)$ tiene un conjunto completamente diferente de los valores en $[0,1]$ de nuestra $f(x)$ (incluyendo, extrañamente, ese $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$). La razón de que esto es generalmente de la definición es que viene en casi todas partes.

Así que la razón por la que sus dos respuestas aspecto similar es debido a que cualquier función que satisface la recurrencia de la relación anterior se tiene un valor en $n+1/2$ de ese tipo de forma, pero el valor específico en $1/2$ es lo que introdujo el $\sqrt{\pi}$.