Que $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos{nx}}{\sqrt{n^3+n}}$ y $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm dt,F(0)=0$.
Muestran que: $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{15}<F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $
Encontrar el valor $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jim Petkus
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Desde que la serie se $f$ converge normalmente en $\mathbb{R}$, podemos integrar término a término. Esto le da $$ F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{\sqrt{n^3+n}}\int_0^{\pi/2}\cos (nx)dx=\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{\sqrt{2}(2k+1)^\frac{3}{2}(2k^2+2k+1)^\frac{1}{2}}. $$ La serie converge absolutamente para $S$. Pero esta es una corriente alterna de la serie que satisface el criterio de Leibniz (la función relevante es , de hecho, la disminución en el $(0,+\infty)$). Así que la secuencia de sumas parciales $S_n$ suplentes acerca de $S$ y satisface $$ S_{2n+1}< S< S_{2n} \qquad \forall n\geq 0. $$ En particular, obtenemos $$ \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{15}<\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3\sqrt{5}\sqrt{6}}=S_1<S<S_0=\frac{\sqrt{2}}{2}. $$ Esto responde 1.
No sé si hay una forma cerrada para $S$ y que no estoy sola.
Anthony Shaw
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Yo estaba retrasado en la publicación de esta, por lo que es poco más que un comentario a julien respuesta.
Desde que la serie se $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n^3+n}}$ es convergente, podemos integrar término a término $$ F(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n\sqrt{n^3+n}} $$ $\sin((2k)\pi/2)=0$ $\sin((2k+1)\pi/2)=(-1)^k$ ; por lo tanto, $$\begin{align} F(\pi/2) &=\frac1{\sqrt2}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt{(2k+1)^3(2k^2+2k+1)}}\\ &=\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt{270}}+\dots \end{align} $$ Por la alternancia de la serie de la prueba, la suma final es entre el$\frac1{\sqrt2}$$\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt{270}}$. Es decir, $$ \frac1{\sqrt2}-\frac1{15}\lt\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt{270}}\lt F(\pi/2)\lt\frac1{\sqrt2} $$
Este evalúa a $0.6587329279592957$, pero el ISC no encontrar una forma cerrada.
