Que $M$ ser un conjunto de y $\delta$, métricas de $\rho$ $M$. ¿Si $f:(M,\delta)\to(M,\rho)$ es un Homeomorfismo, es $\delta$, $\rho$ métricas equivalentes?
No necesariamente $f=\operatorname{id}_M$ (ya que el resultado es obvio).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La respuesta es no. Que $X=\{0\}\cup\{1/n:n\in\Bbb Z^+\}$ y sea el métrico generalmente heredada de $\rho$ $\Bbb R$. Definir $$ f: X\to X:n\mapsto\begin{cases}1,&\text{if }n=0\\0,&\text{if }n=1\\ n,&\text{otherwise}\;.\end{cases}$$ Define a new metric $\delta$ on $X$ by $\delta (m, n) = \rho\big (f (m), f (n) \big) $. It's easy to check that $\delta$ really is a metric on $X$ and that $f$ is not just a homeomorphism, but an isometry between $\langle X,\delta\rangle$ and $\langle X,\rho\rangle$. Both spaces are a simple sequence together with its limit point. But $0$ is isolated in $\langle X,\delta\rangle$ but not in $\langle X, \rho\ Rangle$, así que las dos métricas no generan la misma topología.
La secuencia $\langle 1/n:n\ge 2\rangle$ converge a $0$ con respecto a los $\rho$ y $1$ con respecto a los $\delta$.
lucas
Puntos
4344
Deje $X=\mathbb{R}\times\{0\}\dot\cup\mathbb{R}\times\{2\}$, y definir $\delta$ tal forma que:
$$
\left\{\begin{array}{cccc}
\delta((x,0),(y,2))&=&1,&\forall x,y\in\mathbb{R}\\
\delta|_{(\mathbb{R}\times\{0\})\times(\mathbb{R}\times\{0\})}&=&\mbox{discrete metric}&\\
\delta|_{(\mathbb{R}\times\{2\})\times(\mathbb{R}\times\{2\})}&=&\min\{\mbox{usual metric},1\}&
\end{array}\right.
$$
Es decir, $X$ es un discontinuo de la unión de dos $\mathbb{R}$ de tal manera que tenemos la métrica discreta en una de las habituales en otros.
Definir $\rho$ equivalente:
$$
\left\{\begin{array}{cccc}
\rho((x,0),(y,2))&=&1,&\forall x,y\in\mathbb{R}\\
\rho|_{(\mathbb{R}\times\{0\})\times(\mathbb{R}\times\{0\})}&=&\min\{\mbox{usual},1\}&\\
\rho|_{(\mathbb{R}\times\{2\})\times(\mathbb{R}\times\{2\})}&=&\mbox{discrete}&
\end{array}\right.
$$
Si $f:X\longrightarrow X$ envía $\mathbb{R}\times\{0\}$ $\mathbb{R}\times\{2\}$y viceversa, $f^{-1}=f$ $f:(X,\delta)\longrightarrow(X,\rho),f:(X,\rho)\longrightarrow(X,\delta)$ son continuos, por lo que, $f$ es un homeomorphism, sino $\delta,\rho$ no son equivalentes.
En general, vamos a $(X,d)$ un espacio métrico y definir una nueva métrica $d'$ tal que $d'(x,y)=\min\{d(x,y),1\}$. A continuación, $d'$ (como se puede comprobar) es una nueva métrica y $d'(x,y)\le1,\forall x,y\in X$. En particular, esto demuestra que $\rho(x,y)=\min\{d(x,y),1\}$$x,y\in\mathbb{R}$, es una métrica en $\mathbb{R}$ donde $d$ es lo habitual en la métrica.
Deje $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ métrica espacios, con $d_i(x,y)\le1,\forall x,y\in X_i,i=1,2$. Definir $Z=X\dot\cup Y$$d:Z\times Z\longrightarrow\mathbb{R}$, tal que:
Para ver la desigualdad triangular, vamos a $x\in X_1,y\in X_2$$z\in Z$. A continuación, $d(x,y)= 1$ $d(x,z)+d(z,y)\ge 1$ desde $z\in X_1$ o $z\in X_2$, por lo que, en este caso, sostiene. Ahora, vamos a $x,y\in X_1$$z\in Z$. Si $z\in X_1$, luego tenemos a $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$, ya que en este caso $d=d_1$ $d_1$ es una métrica. Si $z\in X_2$, entonces, desde la $d(x,y)\le 1$, e $d(x,z)=d(z,y)=1$,$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$. El mismo argumento es si $x,y\in X_2$.
Esto demuestra la desigualdad triangular para$d$, $(Z,d)$ es un espacio métrico. En particular, $\rho,\delta$ son de hecho métrica.
