¿Por qué este párrafo es tan corto?

Question

$G$ es un grupo algebraico lineal conectado y reductivo. La referencia es Springer, Grupos Algebraicos Lineales. Estoy teniendo problemas para entender cualquier cosa en este párrafo.

La Proposición 7.31(ii) simplemente dice que $(G,G) \cap C$ es finito. A partir de ahí, él deduce que $(G,G)$ es semisimple de rango uno. ¿Por qué eso implica que $(G,G)$ tenga rango uno (es decir, cualquier toro no trivial de $(G,G)$ tiene rango uno), o que $(G,G)$ sea semisimple?

7.2.3(ii) dice que si $H$ es un grupo semisimple de rango uno, con toro maximal $S$, existe un carácter $\alpha$ de $S$ tal que $\mathfrak{h} = \mathfrak{s} \oplus \mathfrak{g}_{\alpha} \oplus \mathfrak{g}_{-\alpha}$, donde $\mathfrak{g}_{\alpha} = \{ X \in \mathfrak{h} : \textrm{Ad }x(X) = \alpha(x)X, \textrm{ para todo } x \in S \}$.

La letra $P$ denota el conjunto de caracteres no nulos de $G$ que aparecen como pesos (con respecto a la representación racional $\textrm{Ad }: T \rightarrow \textrm{GL}(\mathfrak{g})$. Si $\beta \in P$, se puede mostrar que $G_{\beta} = Z_G((\textrm{Ker } \beta)^0)$ es conectado, y la 7.13(ii) dice que $G$ es soluble si y solo si todos los $G_{\beta} : \beta \in P$ son solubles.

No entiendo por qué $P$ tiene solo dos elementos. Sé que un resultado similar es cierto para $(G,G)$ (una vez que mostramos que es semisimple de rango uno) y para $G/C$. Sin embargo, no veo por qué algo se transfiere a $G” aunque.

Answer 1

Aquí está por qué $(G,G)$ es semisimple de rango uno.

Lema: Sea $G$ un grupo algebraico conectado, sea $N$ un subgrupo normal cerrado, solvable y de dimensión cero de $G$ tal que $G/N$ es semisimple. Entonces $G$ es semisimple. Si $N$ consiste de elementos semisimples (por ejemplo, en característica cero, un grupo algebraico de dimensión cero tiene esta propiedad), entonces $G$ y $G/N$ tienen el mismo rango.

Un grupo conectado es semisimple si y solo si no tiene subgrupos normales, conexos, solvables y no triviales. Si $G$ no fuera semisimple, tendría un grupo $K$ de tal tipo. La imagen de $K$ bajo el homomorfismo canónico $G \rightarrow G/N$, que es $(N.K)/N$, es cerrada, conexa, normal en $G/N$ y solvable. Esto fuerza a que $N.K = N$ o $N.K = G$. En el primer caso, tenemos $K \subseteq N$, por lo tanto $K = \{1_G\}$.

En el segundo caso, el hecho de que $N, K$ sean ambos normales nos da que $N.K$ es la imagen bajo una morfismo de grupos algebraicos con dominio $N \times K$. Así que $\textrm{Dim } G \leq \textrm{Dim } N + \textrm{Dim } K = 0 + \textrm{Dim } K$, por lo tanto $G = K.

Finalmente, si $N$ consiste de elementos semisimples, está contenido en un toro maximal $T$. Luego $T/N$ es un toro maximal de $G/N$. Pero $T$ y $T/N$ tienen la misma dimensión. $\blacksquare$

Ahora cuando $G$ es conectado, reductivo y de rango semisimple uno, el subgrupo conmutador del cociente $G/R(G)$ es igual a sí mismo; de lo contrario, el grupo semisimple $G/R(G)$ tendría un subgrupo propio cerrado, conexo, normal y solvable (si $H$ es cualquier grupo, entonces $H/(H, H)$ es abeliano, por lo que $H$ es solvable si y solo si $(H, H)$ lo es). Además, el mapa sobreyectivo $G \rightarrow G/R(G)$ mapea el subgrupo conmutador en sí mismo.

Se sigue que la restricción de $G \rightarrow G/R(G)$ a $(G,G)$ sigue siendo sobreyectiva. El kernel es $R(G) \cap (G,G)$, que es finito y abeliano. Además, $R(G)$ es un toro, por lo que este kernel consiste de elementos semisimples. Así que podemos aplicar el lema.

Answer 2

Está bien, creo que ya tengo todo. Dado que $G/C$ es semisimple de rango uno, tiene dimensión $3$. Por lo tanto, $C$ tiene codimensión $3$ en $G. Dado que $C$ es un toro, está contenido en un toro maximal, y por lo tanto contenido en todos los toros maximales. Así que tenemos las inclusiones $$C \subseteq T \subseteq Z_G(T) \subseteq G$$ de las cuales la primera debe ser propia: si $C$ fuera un toro maximal, sólo habría un número finito de subgrupos de Borel de $G$, porque sólo hay un número finito de subgrupos de Borel que contienen un toro maximal dado. No puede haber un número finito de subgrupos de Borel, porque su unión es $G$, con $G$ irreducible y no soluble.

El toro $C$ que yace en el centro de $G$, concluimos que los grupos de Weyl $W(G,T), W(G/C,T/C)$ son isomorfos. El segundo tiene orden $2$. Sea $\alpha$ una raíz de $T$ en $G$. Entonces $-\alpha$ también es una raíz de $T$ en $G, y $\alpha -\alpha$ son las únicas pesos no nulos. Por un argumento de dimensión, podemos concluir que la suma directa $$\mathfrak t \oplus \mathfrak g_{\alpha} \oplus \mathfrak g_{-\alpha}$$ es todo $G$, que $T = Z_G(T)$ con $\textrm{Dim } T = \textrm{Dim } C + 1$, y que los espacios $\mathfrak g_{\alpha}$ y $\mathfrak g_{-\alpha}$ son de una dimensión. Esto es porque $T$ tiene codimensión a lo sumo $2$ en $G, por lo tanto $ \mathfrak t$ tiene codimensión a lo sumo $2$ en $\mathfrak g$.

Answer 3

Creo que el rango de cualquier grupo cíclico no trivial es 1.

7.2.3(ii) parece garantizar la existencia de dos elementos (determinados por $\mathfrak g = \mathfrak t \oplus \mathfrak g_{\alpha} \oplus \mathfrak g_{-\alpha}$).

7.1.3(ii) parece garantizar que no hay otros adicionales a estos dos elementos.