¿Es toda matriz simétrica diagonalizable?

Question

Sé que

Las matrices hermitianas son siempre diagonalizables y las matrices simétricas reales son matrices hermitianas reales y, por tanto, diagonalizables.

Pero no siempre una matriz simétrica es una matriz hermitiana.

Así que mi pregunta es que creo que toda matriz simétrica real es diagonalizable, pero ¿es cierto para toda matriz simétrica?

También,

$1$ y $-1$ ¿son los únicos valores propios posibles para una matriz ortogonal real?

Answer 1

La matriz $A = \begin{bmatrix}i&1\\1&-i\end{bmatrix}$ is (complex) symmetric but has Jordan form $A = VJV^{-1}$ where $J = \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ y $V = \begin{bmatrix}i&1\\1&0\end{bmatrix}$ . Por tanto, no toda matriz simétrica (compleja) es diagonalizable.

La matriz de rotación $R = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ es ortogonal real y tiene valores propios $\cos\theta \pm i\sin\theta$ que no son $\pm 1$ si $\theta$ no es un múltiplo de $\pi$ . Así que, $\pm 1$ no son los únicos valores propios posibles para una matriz ortogonal real. Sin embargo, se puede decir que los valores propios se encuentran todos en el círculo unitario y que, aparte de $\pm 1$ , vendrán en pares complejos conjugados.