Conjugados y conmutadores para rompecabezas twisty - ¿y qué?

Question

Esta pregunta no es solo retórica. Quiero saber qué es lo que me falta.

Los tutoriales de rompecabezas Twisty siguen hablando sobre cuán útiles son los conjugados (secuencias de operaciones de la forma ${XYX}^{-1}$) y los conmutadores (${XYX}^{-1}Y^{-1}$). Entiendo los conceptos pero simplemente no veo cómo los conceptos son realmente útiles.

• Al principio de una resolución, cuando hay mucho espacio para trabajar, resuelvo secuencias simples sobre la marcha como cualquiera haría. Realmente no requieren ningún poder cerebral, así que está bastante claro que estos conceptos no ayudan en este caso.
• Más adelante las cosas se vuelven más desafiantes. Necesito pensar más para obtener resultados. Tal vez sería útil emplear los conceptos en este caso, pero no resulta ser así. Aunque las secuencias que encuentro a menudo resultan ser conjugados, no estoy pensando en "${XYX}^{-1}$", solo estoy quitando cosas de en medio, poniendo algo donde quiero y luego poniendo las cosas de nuevo en su lugar. Es como si alguien te dijera que rotar todo el rompecabezas no lo mezclará, y ves la verdad de eso, entonces alguien más llega y dice el grupo de simetría de tales y tales rotaciones es un subgrupo normal de yada yada yada. Gracias, pero ya entendí la idea general.
• Supongamos que estás deliberadamente inventando un conmutador o conjugado. El paradigma no parece ahorrarte ningún poder cerebral porque aún necesitas visualizar lo que está sucediendo. Solo porque sean fáciles de hablar, y debido a su estructura hay algunas limitaciones en sus efectos, no significa que sean fáciles de idear. ¿Quieres que eleve al cuadrado un número de 4 dígitos mentalmente? Sí, está bien, polinomios, pero aún va a tensar mi memoria a corto plazo y ser bastante propenso a errores.
• Finalmente, echemos un vistazo a algunas secuencias esenciales para el Cubo de Rubik proporcionadas por Lars Petrus. Ninguna de ellas son conjugados o conmutadores. (Además, no veo cómo refactorizarlos.) (Aquí hay una referencia de notación.)

$${R U R}' {U R U}^2 R' U^2$$ $${L U}' R' {U L}' U' {R U}^2$$ $$F^2 {U L R}' F^2 {R L}' {U F}^2 U^2$$

Así que a veces una secuencia simple que pasa resulta ser un conjugado; pensar en términos de conjugados y conmutadores no parece simplificar las partes más difíciles; las secuencias más útiles parecen ignorar el paradigma.

Entonces, ¿por qué es útil este paradigma?

Answer 1

Introducción

Alguna vez sentí lo mismo que tú sobre el bombo de los conmutadores y conjugados en el cubo, pero una vez que me "ensucié las manos" jugando con un simulador de cubo virtual como Cubo Twister (o, hoy en día, puede utilizar simplemente el applet en línea, alg.cubing.net ), me di cuenta de que, al igual que cualquier otra cosa en matemáticas, este tema también se puede simplificar y generalizar en la mente humana para crear una caja de herramientas para abordar todo tipo de "problemas de cubos" e incluso temas de "teoría del cubo" .  

Probablemente puedo entender que no descomponer algoritmos del cubo de Rubik todos los días, pero observo que, con una modificación insignificante en los tres algoritmos que has enumerado, todos pueden escribirse como conmutadores simples. (El movimiento final alternativo se añade entre paréntesis).

Algoritmo 1 : R U R' U R U2 R' U2 (U2) \= [R U R2, R U2 R2]

Algoritmo 2 : L U' R' U L' U' R U2 (U') \= L U' R' U L' U' R U = [L, U' R' U]

Algoritmo 3 : F2 U L R' F2 R L' U F2 U2 (U2)

= F2 U L R' F2 R L' U F2
= (F2) U L R' F2 R L' U (F2)
= (F2 U) L R' F2 R L' U2 (U' F2)
= (F2 U) M' x' F2 M x  U2 (U' F2)
= (F2 U) M' U2 M U2 (U' F2)
= (F2 U) [M', U2] (U' F2)
= [[F2 U: M'], [F2 U: U2]]
= [F2 U M' U' F2, F2 U U2 U' F2]

\= [F2 U M' U' F2, F2 U2 F2]

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Conmutadores aislantes (los conmutadores más fáciles de entender)

Extrapolando tus comentarios en tu pregunta, sospecho que cuando me viste escribir "Algoritmo 1" como un conmutador, reforzó tu noción de que la estructura del conmutador no garantiza la comprensibilidad, pero ten en cuenta que los conmutadores que consisten sólo en giros R y U/están en el conjunto de movimientos < R,U > no son generalmente más comprensibles que otros algoritmos en < R,U > que no son conmutadores.

Por lo tanto, la descomposición de conmutadores que enumeré para el "Algoritmo 1" (que fue encontrado independientemente por varias personas) ciertamente no tiene sentido. De hecho, si se aplican unas cuantas jugadas a un cubo resuelto (con cero conocimiento de los conmutadores) para tratar simplemente de encontrar una secuencia de movimientos que sólo afecte a las piezas de una sola capa, esa es probablemente una de las primeras secuencias que se encontrarían.

Por otro lado, hay secuencias de movimientos alternativos en un conjunto de movimientos menos restringido que puede expresarse como un conmutador aislante de piezas (o conmutador aislante de piezas conjugadas).

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Algoritmo 2 Como conmutador de piezas

El "Algoritmo 2" es un conmutador aislante de piezas de la siguiente manera.

1. Invierte la secuencia de movimientos: U' R' U L U' R U L'.
2. Ejecuta sólo los tres primeros movimientos en un cubo resuelto. U' R' U
3. Hay una pieza de esquina "aislada" en la rebanada izquierda. Haz un giro de la cara izquierda para poner una pieza de esquina alternativa (resuelta) en esa ranura de esquina. U' R' U L
4. Deshaz los tres primeros movimientos. U' R' U L (U' R' U)'
5. Deshaz el giro de la cara izquierda que hiciste. U' R' U L (U' R' U)' (L)'
6. Simplificar y tomar la inversa para conseguir el "Algoritmo 2".

Para entender mejor lo que son los conmutadores aislantes de piezas de forma más general (aunque esta es la idea principal en pocas palabras), te recomiendo que veas este video y este video .

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Un vídeo que explota el "Algoritmo 2"

En el proceso de escribir esta respuesta (que me llevó varias horas), también invertí tiempo en producir este vídeo de YouTube donde introduzco el "Algoritmo 2".

A continuación, la descripción del vídeo.

Este vídeo presenta el conmutador más básico (conmutador aislante de piezas Niklas de 8 movimientos) que afecta sólo a tres piezas de un cubo de Rubik, explica por qué funciona y demuestra cómo utilizarlo únicamente para resolver el cubo de Rubik 3x3x3 y otros rompecabezas del tipo Rubik.

A diferencia de los anteriores tutoriales de YouTube sobre conmutadores y conjugados, la forma en que se presentan los conmutadores en este vídeo es como aprendí (me enseñé) por primera vez sobre los conmutadores.

Un algoritmo (general). Sin notación. No se requieren conocimientos previos sobre el cubo de Rubik.

Largo, pero muy completo, detallado y bien explicado.

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Algoritmo 3 Como conmutador de piezas

Una vez que tienes un conmutador de piezas que intercambia un cierto número de piezas, puedes conjugarlo para que sea cualquier secuencia de movimientos que afecte al mismo número (y al mismo número de cada tipo) de pieza(s) que afecta.

Por ejemplo, el conmutador de cuatro movimientos del "Algoritmo 3" puede reescribirse en forma de conmutador aislante de piezas (mostrado a continuación). En este caso, dos aristas están aisladas en la cara superior (el centro fijo puede ser ignorado).  

(U M' U') (U2) (U M' U')' (U2)'  

En este punto, podemos conjugar este conmutador aislante de piezas con el movimiento U' para obtener M' U2 M U2 = [M', U2] (después de la simplificación). 

Luego lo conjugamos con las jugadas de preparación (que ya conocemos por el equivalente del Algoritmo 3).

F2 U U' (movimientos de preparación)

(U M' U') (U2) (U M' U')' (U2)' (Conmutador de piezas)

U U' F2 (deshacer movimientos de configuración)

[Enlace]

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Uso eficiente de conjugados para hacer secuencias útiles/cortas a partir de conmutadores aislados por piezas - Ejemplo de algoritmo de paridad 4x4x4

Además, si queremos crear secuencias de movimientos a partir de "algoritmos base" que creamos a partir de conmutadores aislantes de piezas que son tan cortos como sea posible realizamos un cambio cíclico de ese algoritmo base para ver si crea una configuración más favorable para que podamos usar menos movimientos de configuración para conseguir lo que queremos.  

Ya que ha mencionado rompecabezas de la vuelta al mundo En general, yo, siendo bastante bueno en la creación de algoritmos cortos de paridad 4x4x4 a mano (ver mi canal de YouTube para los vídeos de derivación y mi hilo principal para las derivaciones escritas), tome nota de las siguientes secuencias de movimientos para el caso/posición de paridad de dedge simple en un cubo de Rubik de 4x4x4.

El algoritmo base

1) Comenzar con el conmutador aislante de piezas

(2u 2l' 2u')

(2R)

(2u 2l' 2u')'

(2R)'

[Enlace] (Esto aísla las piezas en esta ranura de bloque 1x2x2 ).  

2) Conjugarlo con dos movimientos.

2b 2l2 (setup moves)

2u 2l' 2u' 2R 2u 2l 2u' 2R' (piece-isolating commutator)

2l2 2b' (undo setup moves)

[Enlace]  

3) Aplicar un cuarto de vuelta.

2b 2l2 (setup moves)
2u 2l' 2u' 2R 2u 2l 2u' 2R' (piece-isolating commutator)
2l2 2b' (undo setup moves)
2R (quarter turn)

[Enlace]

Ruta 1: Conjugación del algoritmo base

El número mínimo de movimientos para conjugar este algoritmo base en un solo giro dedge es 5. A continuación se muestra una opción de tales movimientos de configuración. (El símbolo "x2" representa girar todo el cubo hacia/en dirección contraria dos veces. No cuenta como un movimiento).

x2 2L B R D' B //outer setup moves
2b 2l2 (setup moves)
2u 2l' 2u' 2R 2u 2l 2u' 2R' (piece-isolating commutator)
2l2 2b' (undo setup moves)
2R (quarter turn)
(x2 2L B R D' B)' //undo out setup moves

[Enlace]

Ese ES el número mínimo absoluto de movimientos de configuración externa que se puede hacer. Esto nos da una 24 algoritmo de movimiento de cuarto de vuelta del bloque. Sin embargo, ¿y si te dijera que podemos conseguir un 19 bloque de cuarto de vuelta del algoritmo base si primero realizamos un cambio cíclico (girar cíclicamente los movimientos en el algoritmo base)? Vamos a probarlo.  

Ruta 2: Cambio del algoritmo base

1) Eliminando todos los comentarios del algoritmo base y escribiéndolo en una sola línea, tenemos 

2b 2l2 2u 2l' 2u' 2R 2u 2l 2u' 2R' 2l2 2b' 2R .  

2) Cortando y pegando las 9 jugadas en negrita de arriba y pegándolas después de la última jugada (desplazando cíclicamente 9 jugadas de cuarto de vuelta de bloque en el sentido de las agujas del reloj), obtenemos la base desplazada  

2u' 2R' 2l2 2b' 2R 2b 2l2 2u 2l' 2u' 2R 2u 2l  

3) Si conjugamos este algoritmo base, podemos conjugarlo con tres movimientos, de los cuales hay una cancelación de movimiento entre el tercer y el cuarto movimiento. (La letra z denota la rotación de todo el cubo hacia la derecha en el sentido de las agujas del reloj y no cuenta como un movimiento).

(z d' m D) //undo outer setup moves
2u' 2R' 2l2 2b' 2R 2b 2l2 2u 2l' 2u' 2R 2u 2l //shifted base
(z d' m D)' //undo outer setup moves

[Enlace]

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Algoritmo 1 Como conmutador de piezas

Finalmente, concluyo con la discusión de un conmutador aislante de piezas para generar la misma posición que el "Algoritmo 1" (el no modificado, R U R' U R U2 R' U2 ) lo hace. Esto es más complicado que los ejemplos mostrados en los dos vídeos que he enlazado, pero pensé que merecía la pena mencionarlo. Tenga en cuenta que el "Algoritmo 1" afecta a dos tipos de piezas, y por lo tanto, si queremos construir un conmutador aislante de una pieza para crear la misma posición, tenemos que aislar varias piezas.

1) Para simplificar, he construido una secuencia de movimientos en la que aíslo las piezas en el corte de la izquierda Uno a la vez.  

U' M2 U //isolate middle edge piece

U' R' U R U' R' U //isolate pure twisted corner 1

U R U' R' U R U' //isolate pure twisted corner 2

[Enlace] (Obsérvese que una torsión pura de 3 esquinas requiere que se aíslen DOS esquinas torsionadas en la misma rebanada adyacente a la otra, por lo que tuvimos que dividirlo en dos pasos). Recuerda, ¡mira sólo la rebanada de la izquierda!  

2) Eliminando los comentarios, escribiendo en una sola línea, y usando L' como nuestra Y en [X,Y], tenemos una secuencia de movimientos que cicla tres aristas (sin voltearlas) y tuerce tres esquinas en la misma dirección que el "Algoritmo 1".  

[U' M2 U U' R' U R' R' U R' U R' U R', L']  

3) Conjugar con algunos movimientos para obtener la misma posición exacta generada por el "Algoritmo 1  

(y z' F D' F')
[U' M2 U U' R' U R U' R' U U R U' R' U R U', L']
(y z' F D' F')'

  [Enlace]

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Pensar fuera de la caja :

Resolver el cubo entero nxnxn con un solo conmutador.

Se sabe que los conmutadores sólo afectan a unas pocas piezas del cubo de Rubik, pero lo que la mayoría de la gente no sabe (o ni siquiera es consciente de la posibilidad) es el hecho de que CUALQUIER posición de permutación uniforme de el cubo nxnxn puede expresarse con un secuencia de movimiento del conmutador único. Es decir, podemos resolver todo el rompecabezas con un solo conmutador. Esto es definitivamente más allá de lo que pediste, pero pensé que era apropiado incluir una mención de esto en mi post para informarte de que no necesitamos aplicar conmutadores múltiples o conmutadores conjugados para resolver el cubo nxnxn . ¡Una aplicación de un solo conmutador (más unos cortes de un cuarto de vuelta para igualar la paridad de todas las órbitas de las piezas) es suficiente!  

De forma abstracta, afirmo que para cualquier revuelto de permutación par S que está en el subgrupo conmutador del cubo nxnxn, existe al menos una solución de la forma [X,Y] tal que [X,Y]' = S .  

A continuación se muestran ejemplos de soluciones que hice en el pasado para tres tamaños de cubo diferentes para ilustrar lo que quiero decir.  

Ejemplo 2x2x2 resolver || Ejemplo 3x3x3 Resolver || Ejemplo 4x4x4 resolver .

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Pensar fuera de la caja :

Resolver todo el cubo nxnxn con un solo conjugado

En general, se sabe que los conjugados cambian las piezas a las que afecta un algoritmo base, como un conmutador. De esta manera, si se piensa bien, podemos conseguir tener muy pocos algoritmos base que ajustar para resolver el cubo entero. Lo que la mayoría de la gente no sabe es que en realidad podemos resolver un subconjunto de posiciones del cubo nxnxn únicamente conjugando cualquiera de sus secuencias de movimientos generadores.  

De forma abstracta, afirmo que para un subconjunto de todos los posibles revueltos S en el cubo nxnxn, existe al menos una secuencia A tal que A S A' = S'

A continuación se muestra un ejemplo de solución 3x3x3 por Inversión por Conjugación que hice en el pasado.  

D' B F' D' L2 B' R D L2 U L U L' R F2 U2 F2 U' //S

B R2 B' D2 B2 D2 R U' L' B' D' R U F R' F U2 L' U2 //A

D' B F' D' L2 B' R D L2 U L U L' R F2 U2 F2 U' //S

(B R2 B' D2 B2 D2 R U' L' B' D' R U F R' F U2 L' U2)'//A'

[Enlace]  

Las condiciones en las que una secuencia de movimientos S pueden ser invertidos por conjugación son conocidos por algunos, y es posible contar el número de posiciones que pueden ser invertidas por conjugación.

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Conclusión:

Espero que mi post haya respondido a tus preguntas y te haya informado sobre cómo ir más allá de los temas tradicionales de la teoría de grupos asociados al cubo de Rubik. El contenido de este post es sólo la punta del iceberg. Pido disculpas por haberme extendido demasiado en los detalles, pero quería intentar darte una idea de lo que hay ahí fuera (aunque ese contenido no sea muy conocido).

Answer 2

Mi opinión:

Los conjugados son útiles porque te permiten tomar un 'operador' que hace una cosa y adaptarlo para hacer algo diferente pero relacionado. Por ejemplo: Supongamos que tienes un operador que, digamos, gira dos cubies de esquina en esquinas opuestas de una cara. Puedes usar esto para girar dos cubies de esquina adyacentes por conjugación: (a) gira una cara un cuarto de vuelta para convertir los dos cubies adyacentes en cubies opuestos; (b) aplica el operador de giro opuesto; (c) deshacer la vuelta.

Los conmutadores son útiles precisamente para construir operadores. Yo lo imagino así: Piensa en alguna secuencia de giros de cara como 'una flecha' del estado actual del cubo a algún otro estado, y su inversa como 'una flecha' en dirección contraria. Un conjugado de la secuencia es simplemente 'una flecha' en una dirección algo diferente. Ahora, un conmutador es simplemente una secuencia seguida por un conjugado de su inverso. El resultado es tomar una flecha en una dirección, seguida por una flecha inversa 'en ángulo', lo que deja una flecha residual que representa el cambio neto. Si planeas con antelación, puedes hacer que la flecha residual sea bastante corta, es decir, dejar solo unas pocas cosas cambiadas.

Casualmente leí el artículo de Hofstadter en Scientific American ['Metamagical Themas'] sobre el Cubo de Rubik en los años 80. Me llamó la atención su ejemplo de un 'monoflip': Considera una secuencia de giros que deja la capa superior sin cambios, excepto por un solo cubie de borde girado; el resto del cubo puede estar mezclado como desees. Es fácil convertir esto en un operador para girar dos cubies de borde: ¡Simplemente conmuta el 'monoflip' con un giro de la cara superior! Es posible aplicar esta idea para crear tantos operadores como sea necesario para resolver el Cubo.

Answer 3

En los días en que solía jugar con el Cubo de Rubik, usaba mucho los conjugados, porque reducen la cantidad de secuencias que necesitas recordar.

Supongamos, por ejemplo, que conoces una secuencia de movimientos $R$ que realiza un $3$-ciclo en tres cubies de borde específicos $E_1, E_2, E_3$, tal vez los tres que rodean una esquina.

Entonces, si quieres hacer un $3$-ciclo en cualquier otro conjunto de $3$ cubies de borde $E_4, E_5, E_6$, primero realizas una secuencia $X$ que mueve $E_4 \to E_1$, $E_5 \to E_2$, $E_6 \to E_3. Luego haces $R$. Luego haces $X^{-1}$ para mover los tres que querías mover de regreso a sus posiciones originales, pero ciclados de la manera que deseas. Así, has llevado a cabo el conjugado $XRX^{-1}.

Por supuesto, debes trabajar en $X$ sobre la marcha y recordarlo mientras estás haciendo $R$, pero descubrí con la práctica que podía manejar eso. Y no vas a romper ningún récord de velocidad usando estas técnicas, pero te permiten resolver el cubo minimizando la cantidad de memorización requerida.

Encontré que los conmutadores también son útiles, pero eso era más para secuencias específicas $R.