Estoy tratando de estimar el $\int_0^x f(x-t)f'(t)dt$ en términos de una simple expresión asintótica con un término de error para algunos 'buen comportamiento' funciones, a saber,$f = O(x)$, de clase $C^1$ o más, con $f$ (asintóticamente) y el aumento de $f'$ (asintóticamente) monotónica. (por ejemplo,$\sqrt[3]{x}$, $\frac{x}{\log{x}}$, $\sqrt{x}\log{x}$).
Si $f$ no es positivo o bien definido en $(0,x)$ podemos cambiar el dominio de integración a $(\alpha, x-\alpha)$, este cambio no modifica ninguno de los asintótica resultado de todos modos.
Ejemplo. Para $f(x) = \sqrt{x}$, no es difícil mostrar que $\int_0^x f(x-t)f'(t)dt \sim \frac{\pi}{4}x$.
Más en general, tengo la sospecha de que $\int_0^x f(x-t)f'(t)dt = Cf(x)^2 + O(f(x))$, para algunas constantes $C$ dependiendo $f$, pero la única cosa que he esbozado una prueba de lo que ahora se que $\int_0^x f(x-t)f'(t)dt \asymp f(x)^2$, como sigue:
En primer lugar, por el orden de $f$, sostiene $f(x-t) \gg f(x)-f(t)$$x\to\infty$. Así:
$\int_0^x f(x-t)f'(t)dt \gg f(x)\int_0^x f'(t)dt - \int_0^x f(t)f'(t)dt \gg f(x)^2$.
En segundo lugar, dado que el $f$ va en aumento,
$\int_0^x f(x-t)f'(t)dt < f(x)\int_0^{x/2} f'(t)dt + \int_{x/2}^x f(t)f'(t)dt \ll f(x)^2$.
El problema es que no tengo ni idea de cómo probar (o si tengo que añadir más hipótesis sobre $f$ con el fin de demostrar) mi sospecha. Agradecería cualquier sugerencia.
