Me han dicho que, dados dos puntos $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$, el conjunto de todos los puntos que están a una distancia doble de $\mathbf{a}$ ya que son de $\mathbf{b}$:
$$\{\mathbf{p} : |\mathbf{p} - \mathbf{a}| = 2(|\mathbf{p} - \mathbf{b}|)\}$$
es una esfera. Me pregunto por qué esto es cierto de manera intuitiva. Dados dos puntos $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$, puedo escribir la ecuación:
$$\sqrt{(a_x - p_x)^2 + (a_y - p_y)^2 + (a_z - p_z)^2} = 2\sqrt{(b_x - p_x)^2 + (b_y - p_y)^2 + (b_z - p_z)^2}$$
ir a través del álgebra, de la plaza de los dos lados, recoger los términos semejantes, y obtener la ecuación de una esfera. Pero no puedo gestionar para atravesar la niebla de álgebra con mi intuición. Lo que estoy tratando de comprender de forma intuitiva o geométricamente es:
- Lo que determina el radio y el centro de la resultante de la esfera?
- Si me preguntan lugar para el conjunto de todos los puntos que equidistan de a$\mathbf{A}$$\mathbf{B}$, me sale un avión. Si pido el mismo en $\mathbb{R}^2$, me sale una línea. Si les pido a todos los puntos equidistantes de un punto en $\mathbb{R}^3$, aunque, me sale una esfera. Es cierto en general que el conjunto de todos los puntos en $\mathbb{R}^n$ equidistante de $k$ puntos seleccionados es un subespacio de dimensión $n - k$?
- Si yo no pido puntos equidistantes, pero en lugar de pedir algo como el de arriba, yo.e algunas distancias son proporcionales a algunas otras distancias, ¿cuál es el análogo resultado?
- Hay una forma geométrica de la comprensión de la anterior?
EDIT: Se me ocurre que una esfera no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ porque no es un espacio vectorial. Puedo hablar de ello de tener una "dimensión" 2?
