Demostrar que algo no es una retracción

Question

Estoy tratando de probar que ($S^1\times\{1\})\cup(\{1\}\times S^1)$ no es una retracción de $S^1\times S^1$. Cualquier ayuda sería apreciada.

¡Gracias!

Answer 1

Si hubiera una retracción, obtendrás una composición %#% $ #% que es la identidad. Obtendrás en el nivel de $$S^1\vee S^1 \subset S^1\times S^1\overset{r}{\to}S^1\vee S^1$ %#% $ #% siendo el homomorfismo de identidad en el grupo libre sobre generadores de $\pi_1$ $$F_2\to \mathbb Z\oplus\mathbb Z\to F_2$. Esto es imposible, por ejemplo, porque todos los conmutadores mentiría en el núcleo de la izquierda de la ruta.