Serie asintótica

Question

He tomado el logaritmo de esta expresión y calcula la expansión de Taylor de la $\log(1+\epsilon)$ término haciendo esto estamos requeridos para calcular potencias de esta serie cuando se utiliza la definición de la función exponencial, pero esto da un lío combinatorical.

por ejemplo. $(1+\epsilon)^{s/\epsilon}=\exp\left(s\right)\exp\left(s\delta\right),$ donde $\delta=\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^n \epsilon^n}{n+1}.$

Me preguntaba si alguien sabe de una fórmula general para el coeficiente de $\epsilon^n$ $(1+\epsilon)^{s/\epsilon}$ $\epsilon \rightarrow 0$. ¿Cualquier conocido documentos sobre este tema también?

Gracias

Answer 1

Yo estoy atascado con la fórmula general.

Para los primeros términos, es bastante simple: a partir de $$A=(1+\epsilon )^{s/\epsilon }$$ $$\log(A)=\frac{s }{\epsilon }\log (1+\epsilon)=\frac{s }{\epsilon }\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\epsilon^n} n=s \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\epsilon^{n-1}} n$$ Now, using $A=e^{\log(A)} $ and using Taylor series again leads to $$A=e^s\left (1-\frac {s} {2} \epsilon+\frac {s (3 s + 8)} {24} \epsilon ^2-\frac{s(s+2)(s+6)} {48} \epsilon ^ 3 + O\left(\epsilon ^4\right) \right)$$ So, $$A=e^s \sum_{n=0}^\infty (-1)^n P_n(s) \epsilon^n$$ where $ P_n (x) $ is a polynomial of degree $n $ in $s$.