Probando el lema de $\Delta$ con Fodor ' s Teorema

Question

En la actualidad tratando de resolver el Ejercicio $9.10$ de Jech de la Teoría de conjuntos (3ª edición del Milenio):

Probar que [el $\Delta$ lema] el uso de Fodor del Teorema.

el cual contiene los siguientes misterioso sugerencia:

Deje $W = \{X_\alpha: \alpha < \omega_1\}$$X_\alpha \subset \omega_1$. Para cada una de las $\alpha$, vamos a $f(\alpha) = X_\alpha \cap \alpha$. Por Fodor, Teorema de, $f$ es constante en un conjunto estacionario $S$; por inducción construir un $\Delta$-sistema de $W \subset \{X_\alpha: \alpha \in S\}.$

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Recuerdo el $\Delta$ lema:

Una innumerable colección de $W$ finito de conjuntos tiene un incontable subconjunto $Z$ tal que para algunos fijos $S$, para todos los distintos $X, Y \in Z$, uno ha $X \cap Y = S$.

y Fodor del Teorema:

Un ordinal valores de asignación de $f$ sobre un conjunto estacionario $S \subseteq \kappa$ con la propiedad de que $f(\alpha)<\alpha$$\alpha > 0$, es constante en algunos estacionaria subconjunto $T \subseteq S$.

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Normalmente, me parece de los ejercicios de la Jech bastante factible-a veces las sugerencias son más bien superfluo. Pero en este caso yo lucho para ver incluso lo que el global de la dirección de la pista.

Hago que podemos restringir la atención a $W$ como dado (porque es WLOG de cardinalidad $\aleph_1$, donde sólo hay $\aleph_1$ diferentes elementos en $\bigcup W$; por AC podemos incrustar $W$$\bigcup W$$\omega_1$).

Consejos sobre lo que se quiere decir con la segunda frase se aprecia ($f$ no parece definir un ordinal valores de la función para mí).

Answer 1

Supongamos $\langle W_{\alpha} : \alpha < \omega_1 \rangle$ $\omega_1$- secuencia de subconjuntos finitos de $\omega_1$. WLOG, podemos suponer que el tamaño de cada una de las $W_{\alpha}$ $n$ algunos $n \geq 1$. Por inducción en $n$, vamos a construir un $\Delta$-larga de longitud $\omega_1$. Si $n = 1$, esto es fácil. Así que supongamos $n \geq 2$. Considere la función $f: \omega_1 \rightarrow \omega_1 \cup \{\infty\}$ definido por $f(\alpha) =$ menos elemento de $W_{\alpha}$ bajo $\alpha$ (si la hubiere), de lo contrario $\infty$. Si $f(\alpha) = \infty$ sobre una cantidad no numerable de $\alpha$'s, entonces podemos fácilmente encontrar un disjuntos a pares larga de $W_{\alpha}$'s, que es por lo tanto un $\Delta$-secuencia con raíz vacío. Si no, por Fodor lema no es estacionaria larga en la que $f$ es constante, decir $\beta$. Pero, a continuación, $\beta \in W_{\alpha}$ por una cantidad no numerable de $\alpha$'s y aplicamos la hipótesis inductiva a estos $W_{\alpha} \backslash \{\beta\}$'s.