Harlan Brothers ' fórmula del e en el triángulo de pascal

Question

Yo estaba observando aquí y conjeturas $(1)$

$$\lim_{n\to\infty}{S_{n-1}S_{n+2}\over S_nS_{n+1}}=e^2\tag1$$

Dado que Harlan Hermanos fórmula $(2)$

$$\lim_{n\to\infty}{S_{n-1}S_{n+1}\over S_n^2}=e\tag2$$

Tratando de demostrar $(1)$:

$(1)\div(2)$

$$\lim_{n\to\infty}{S_{n-1}S_{n+2}\over S_nS_{n+1}}\times{S_n^2\over S_{n-1}S_{n+1}}=e\tag3$$

Simplificado para

$$\lim_{n\to\infty}{S_{n}S_{n+2}\over S_{n+1}^2}=e\tag4$$

$(4)$ que es el mismo que $(2)$, así que por lo tanto podemos decir $(1)$ es la correcta?

2º conjetura

Otra conjetura a partir de la observación de $(1)\div(2)^2$, simplificado para

$$\lim_{n\to\infty}{S_n^3S_{n+2}\over S_{n-1}S_{n+1}^3}=1\tag5$$

Me di cuenta de que toma los coeficientes binomiales,se puede ver un patrón emerge

$$\lim_{n\to\infty}{S_n^4S_{n+2}^4\over S_{n-1}S_{n+1}^6S_{n+3}}=1\tag6$$

$$\lim_{n\to\infty}{S_n^5S_{n+2}^{10}S_{n+4}\over S_{n-1}S_{n+1}^{10}S_{n+3}^5}=1\tag7$$

y así sucesivamente ...

Podemos escribir como

$$\lim_{n\to \infty}\prod_{k=0}^{m}S_{n+k-1}^{(-1)^{k+1}{m\choose k}}=1\tag8$$ $m\ge3$

Numéricamente hemos comprobado para cierto rango de $S_n$, pero no necesariamente indica que es cierto que para grandes valores de $S_n$

¿Cómo podemos demostrar $(8)?$

Answer 1

La primera afirmación es correcta, pero una mejor forma de decirlo sería este:

1. Harlan: $\lim_{n\to\infty}{S_{n-1}S_{n+1}\over S_n^2}=e\tag2$

2. Índice de cambio para conseguir $\lim_{n\to\infty}{S_{n}S_{n+2}\over S_{n+1} ^2}=e\tag2$

3. Límite de un producto es el producto de los límites si ambos existen, por lo tanto

4. \begin{align} e^2 &= \lim_{n\to\infty}{S_{n}S_{n+2}\over S_{n+1} ^2}\lim_{n\to\infty}{S_{n-1}S_{n+1}\over S_n^2}\\ &= \lim_{n\to\infty}{S_{n}S_{n+2}\over S_{n+1} ^2}{S_{n-1}S_{n+1}\over S_n^2}\\ &= \lim_{n\to\infty}{S_{n+2}\over S_{n+1} }{S_{n-1}\over S_n} \end{align}

De esta manera, usted no puede trabajar a partir de lo que estás tratando de demostrar, sino de cosas que usted sabe que es verdad.

En cuanto a la segunda...yo no quería mirar, porque, en general, hacer una pregunta a la vez. Pero seguro que se parece a un no muy difíciles de inducción de la prueba.