Potencial generado por una esfera hueca con un agujero

Question

La esfera tiene un radio $R$ y le falta su "polo" - lo que significa que en la zona $\theta\leq\alpha$ no hay nada. El objeto tiene una densidad de carga homogénea $\sigma=\frac{Q}{\pi R^2}$

Estoy tratando de derivar lo que es el campo dentro y fuera. Debe ser un ejercicio de polinomios de Legendre. Sé que es un problema de simetría axial, por lo que la solución general de la ecuación de Laplace debería ser: $$\phi(r,\theta)=\sum_{l=0}^{+\infty}\left(A_l r^l+B_l r^{-(l+1)}\right)P_l(\cos\theta)$$ Dónde $P_l$ son los polinomios de Legendre. En mi caso, debo separar los resultados en dos áreas: $$\phi(r<R,\theta)=\sum_{l=0}^{+\infty}A_l r^l P_l(\cos\theta)$$ $$\phi(r>R,\theta)=\sum_{l=0}^{+\infty}B_l r^{-(l+1)}P_l(\cos\theta)$$ para que el potencial no diverja en $r=0$ o $r\rightarrow+\infty$ Hay una pista en el libro para utilizar el hecho, que el potencial debe ser continuo y que la diferencia de derivados (es decir, la diferencia de intensidad eléctrica: $[\vec{E}]$ ) en la dirección de la normal es la densidad de carga.

La continuidad potencial es evidente. Da la siguiente condición: $$\sum_{l=0}^{+\infty}\left(A_l R^l-B_l R^{-(l+1)}\right)P_l(\cos\theta)=0\ \ \ \ \forall\theta\in[0,\pi]$$ lo que implica $$\frac{A_l}{B_l}=\frac{1}{R^{2l+1}}$$ No estoy seguro de cómo utilizar la condición de intensidad eléctrica, porque $$\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_-,\theta\leq\alpha)}{\partial r}-\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_+,\theta\leq\alpha)}{\partial r}=0$$ $$\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_-,\theta>\alpha)}{\partial r}-\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_+,\theta>\alpha)}{\partial r}=\sigma$$ No estoy seguro de cómo tratar el hecho de que la condición es diferente para $\theta\leq, >\alpha$ .

El resultado debería ser: $$\phi(r<R,\theta)=\frac{Q}{8\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{+\infty}\frac{1}{2l+1}\left[P_{l+1}(\cos\alpha)-P_{l-1}(\cos\alpha)\right]\frac{r^l}{R^{l+1}}P_l(\cos\theta)$$ $$\phi(r>R,\theta)=\frac{Q}{8\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{+\infty}\frac{1}{2l+1}\left[P_{l+1}(\cos\alpha)-P_{l-1}(\cos\alpha)\right]\frac{R^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta)$$ ¿Puede decirme cómo tratar la otra condición?

Gracias

Answer 1

Es más fácil escribir la condición de carga como $$\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_-,\theta)}{\partial r}-\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_+,\theta)}{\partial r}=\sigma(\theta)$$ y empezar a calcular el operador de la izquierda. Esto es sencillo: $$ \frac{\partial \phi(r\rightarrow R_-,\theta)}{\partial r} = \frac{\partial }{\partial r}\sum_{l=0}^{+\infty}A_l r^{l} P_l(\cos\theta) = \sum_{l=0}^{+\infty}l\,A_l R^{l-1} P_l(\cos\theta) $$ y $$ \frac{\partial \phi(r\rightarrow R_+,\theta)}{\partial r} = \frac{\partial }{\partial r}\sum_{l=0}^{+\infty}B_l r^{-(l+1)} P_l(\cos\theta) = \sum_{l=0}^{+\infty}(-l-1)\,B_l R^{-l-2} P_l(\cos\theta). $$ Por lo tanto, su diferencia es \begin {align} \frac { \partial \phi (r \rightarrow R_-, \theta )}{ \partial r}- \frac { \partial \phi (r \rightarrow R_+, \theta )}{ \partial r} &= \sum_ {l=0}^{+ \infty } \left [l R^{l-1}\\Nde A_l +(l+1) R^{l-2}B_l \right P_l( \cos\theta ) \\ &= \sum_ {l=0}^{+ \infty }(2l +1)R^{l-1}A_lP_l( \cos\theta ), \end {align} utilizando la condición $A_l/B_l=R^{-(2l+1)}$ que ya tienes. Lo que intentas hacer, entonces, es obtener los coeficientes en la expansión de Legendre de la función de carga $\sigma(\theta)$ o, en otras palabras, invirtiendo la ecuación $$ \sum_{l=0}^{+\infty}(2l +1)R^{l-1}A_lP_l(\cos\theta)=\sigma(\theta). $$

Esto se hace, por supuesto, apelando a la condición de ortogonalidad de los polinomios , $$\int_0^\pi P_l(\cos\theta) P_n(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d \theta=2\delta_{ln}/(2l+1).$$ La integración de ambos lados contra un $P_l$ , se obtiene

$$ 2R^{l-1}A_l = \int_0^\pi P_l(\cos\theta) \sigma(\theta)\sin\theta\mathrm d \theta = \sigma_0\int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) \sin\theta\mathrm d \theta, $$ así que todo lo que tienes que hacer ahora es integrarte. Esto parece una tarea, pero es útil saber que, como principio general, las derivadas simples de los polinomios ortogonales suelen ser expresables como pequeñas combinaciones lineales de polinomios adyacentes. Para los polinomios de Legendre, la identidad relevante es $$ (2l+1)P_l(u)=\frac{d}{du}\left[P_{l+1}(u)-P_{l+1}(u)\right]. $$ Implementando esto, se obtiene \begin {align} A_l &= \frac { \sigma_0 }{2R^{l-1}} \int_ {-1}^{ \cos ( \alpha )} P_l(u) \mathrm du \\ &= \frac {1}{2l+1} \frac { \sigma_0 }{2R^{l-1}} \int_ {-1}^{ \cos ( \alpha )} \frac {d}{du} \left [P_{l+1}(u)-P_{l+1}(u) \right ] \mathrm du \\ &= \frac {1}{2l+1} \frac { \sigma_0 }{2R^{l-1}} \left [P_{l+1}(u)-P_{l+1}(u) \right ]_{-1}^{ \cos ( \alpha )} \\ &= \frac {1}{2l+1} \frac { \sigma_0 }{2R^{l-1}} \left [P_{l+1}( \cos ( \alpha ))-P_{l+1}(-1)+P_{l-1}(-1)-P_{l+1}( \cos ( \alpha )) \right ] \\ &= \frac {1}{2l+1} \frac { \sigma_0 }{2R^{l-1}} \left [P_{l+1}( \cos ( \alpha ))-P_{l+1}( \cos ( \alpha )) \right ]. \end {alinear} Esto nos lleva al resultado que queremos, modulando las constantes con las que debemos tener cuidado.

Answer 2

Fuera de las distribuciones de cargos, el general (no $\phi$ -) de la solución de $\Delta\Phi=0$ tiene la forma que has descrito. Ahora, suponiendo que las soluciones para $r \lt R$ y $r \gt R$ tomar la forma que usted menciona, entonces el campo eléctrico $\overrightarrow{E} = -\nabla\Phi$ tendrá los siguientes valores en coordenadas esféricas:

$$r \lt R: \overrightarrow{E}_{r \theta \phi}=-\sum_{l=0}^\infty \left( \begin{array}{c}A_ll r^{l-1} P_l(\cos\theta)\\A_lr^{l-1}P_l^{'}(\cos\theta) \cdot -sin\theta\\0\end{array} \right)$$ $$r \gt R: \overrightarrow{E}_{r \theta \phi}=-\sum_{l=0}^\infty \left( \begin{array}{c}-B_l(l+1) r^{-(l+2)} P_l(\cos\theta)\\B_lr^{-(l+2)}P_l^{'}(\cos\theta) \cdot -sin\theta\\0\end{array} \right)$$

Así, haciendo uso de $B_l=R^{2l+1}A_l$ la magnitud de la parte normal $E_r$ dentro y fuera de la esfera para r=R, tiene los siguientes valores:

$$r \lt R: \overrightarrow{E}_{r=R_-}=-\sum_{l=0}^\infty A_ll R^{l-1} P_l(\cos\theta) * \overrightarrow{e_r}$$ $$r \gt R: \overrightarrow{E}_{r=R_+}=\sum_{l=0}^\infty A_l(l+1)R^{l-1}P_l(\cos\theta) * \overrightarrow{e_r}$$

Ahora mire la superficie que rodea la distribución de la carga, y aplique la ley de Gauss $\oint_{S}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int_V div\overrightarrow{E}d^3x$

Aquí $\overrightarrow{dS}$ está apuntando hacia afuera, por lo tanto hacia el origen para el interior, y alejándose del origen para el exterior de la esfera. Las ecuaciones de Maxwell nos dicen que $div\overrightarrow{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ Así que nos encontramos con que

$$\int div\overrightarrow{E}d^3x=\int_0^{2\pi}d\phi\int_\alpha^\pi \frac{\sigma}{\epsilon_0} R^2sin\theta d\theta=2\pi\int_\alpha^\pi \frac{Q}{\pi\epsilon_0}sin\theta d\theta=2\frac{Q}{\epsilon_0}(1+cos\alpha)$$

Las integrales de superficie se evalúan en

$$\int\!\!\!\int_{S_{inside}}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int_0^{2\pi}d\phi\int_\alpha^\pi \sum_{l=0}^\infty A_ll R^{l-1} P_l(\cos\theta) Rsin\theta d\theta=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_ll R^l \int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) sin\theta d\theta$$ y $$\int\!\!\!\int_{S_{outside}}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int_0^{2\pi}d\phi\int_\alpha^\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(l+1) R^{l-1} P_l(\cos\theta) Rsin\theta d\theta=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(l+1) R^l \int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) sin\theta d\theta$$ Así que en total $$\oint_{S}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(2l+1) R^l \int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) sin\theta d\theta=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(2l+1) R^l \cdot -\int_{cos\alpha}^{-1} P_l(x)dx$$ Aprovechamiento de la identidad $(2l+1)P_l = P_{l+1}^{'} - P_{l-1}^{'}$ obtenemos $$\oint_{S}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l R^l \int_{-1}^{cos\alpha} [P_{l+1}^{'}(x) - P_{l-1}^{'}(x)]dx=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l R^l [P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)]$$

Esto nos da una restricción en los valores de $A_l$ , a saber $$ \sum_{l=0}^\infty A_l R^l [P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)] = \frac{Q}{\pi\epsilon_0}(1+cos\alpha)$$ Así que lo siguiente funcionará: $$A_l = \frac{Q}{\pi\epsilon_0 R^l}\cdot\frac{1}{2^{l+1}}\cdot\frac{1+cos\alpha}{P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)}$$ pero no puedo ver cómo llegar al valor dado por usted, $$A_l = \frac{QR^{-(l+1)}}{8\pi\epsilon_0(2l+1)}[P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)]$$

Por cierto, un argumento similar al anterior, ahora para la superficie que encierra el polo no cargado de la esfera, nos muestra que $$\oint_{S^{'}}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l R^l \cdot -[P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)] = \int div\overrightarrow{E}d^3x = 0$$

Es evidente que esto forma una contradicción junto con la otra fórmula, por lo que las soluciones dentro y fuera de la esfera deben ser diferentes a las supuestas. No es ilógico, ya que el polo abierto permite que los campos de un lado de la esfera penetren en el otro lado, pero no está claro en qué consiste.

Obviamente cerca del origen todos $B_l$ debe ser cero, y en el infinito todos $A_l$ también debe ser cero, pero ¿dónde se unen estas soluciones básicas? ¿Dónde están sus límites?